涉及教堂数字的Lambda微积分评估

我知道教堂数字 看起来像（... n次...）。这意味着“将函数应用于函数次”。 λ 小号。λ ž 。小号$c_n$$\lambda s. \lambda z. s$小号ñ $s\;z$$s$$n$$z$

函数的可能定义如下：。看着身体，我了解了功能背后的逻辑。但是，当我开始评估时，会陷入困境。我将用一个例子来说明：吨我米Ë 小号 = λ 米。λ ñ 。λ 小号。$\mathtt{times}$$\mathtt{times} = \lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s)$

$$\begin{align*} (\lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s))(\lambda s.\lambda z.s\;s\;z)(\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z) \mspace{-4em} \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; ((\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z)\; s)) \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; (\lambda z.s\;s\;s\;z) \\ \to^*& \lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \end{align*}$$

现在在这种情况下，如果我首先应用，我将获得所需的结果。但是，如果我首先应用，我应该这样做，因为应用程序是从左侧开始关联的错误的结果：$(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z$$(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)$

$\lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \to \lambda s. \lambda z.(s\;s\;s\;(\lambda z.s\;s\;s\;z))\;\;z$

我再也不能减少这个了。我究竟做错了什么？结果应为$\lambda s. \lambda z.s\;s\;s\;s\;s\;s\;z$

我认为您的削减是正确的（不过，我只是盯着它看）。最后，您不能将应用于，这在术语中永远不会出现。是而不是。lambda演算中的函数有一个参数。它们被有效地咖喱：一个带两个参数函数被实现为一个参数的函数，它的第一个参数，并返回一个新的一个参数的函数，它的第二个参数，并返回结果。Ž λ Ž 。˚F ˚F ž λ ž 。（˚F ˚F ）Ž λ Ž 。f （f z $(\lambda z. s s s z)$$z$$\lambda z. f f z$$\lambda z. (f f) z$$\lambda z. f (f z)$

在定义教堂数字时，您犯了同样的错误。的教堂数字基于次函数的组合。“功能施加次以函数 ”。什么你写的功能是外加次功能终于到，不打我作为一个有用的术语。Ñ 小号Ñ Ž λ 小号。λ ž 。s （s （… $n$$n$$s$$n$$z$s n − 1 s $\lambda s. \lambda z. s (s ( … s \: z) … ))$$s$$n-1$$s$$z$

（λ 米Ñ 小号。米（Ñ 小号））（λ 小号Ž 。小号（$2 \times 3$因此是。我让您检查一下它是否减少到。$(\lambda m n s. m (n s)) (\lambda s z. s (s \: z)) (\lambda s z. s (s (s \: z)))$$\lambda s z. s (s (s (s (s (s \: z)))))$