通用模拟计算需要什么？

为了执行任意模拟计算，需要执行哪些操作？加法，减法，乘法和除法是否足够？

另外，有人知道使用模拟计算可解决哪些问题，而使用数字计算则无法解决？

不幸的是，在模拟计算中没有通用性的“通用”概念。但是，Delvenne的这篇论文提出了离散（例如Turing Machines）和连续（例如微分方程）动力学系统通用性的统一形式主义，并回顾了一些文献中研究的通用系统。这是本文的摘录，非正式地描述了证明动力系统通用性的过程：

但是，在数学和物理学中研究的大多数动力学系统都有不可数的状态空间，例如元胞自动机，微分方程，分段线性映射等。这些系统的示例已被证明是通用的。他们的暂停问题是通过以下方式从图灵机模仿出来的。我们选择特定的可数初始状态族，可数的最终状态族或最终状态集。然后，给停顿问题一个初始状态和一个最终状态/状态集，从初始状态开始的轨迹是否会到达最终状态/状态集。第7节提供了更具体的示例。

Jean-Charles Delvenne，什么是通用计算机？，应用数学与计算，第215卷，第4期，2009年10月15日，第1368-1374页

我认为除非我们定义了所讨论的计算类型，否则无法回答该问题。

具有一类计算的机器模型的通用性意味着该类中的任何计算都可以由机器进行计算。除非您定义“任意模拟计算”的类，否则我们无法回答什么是通用性。

现在，你已经列出的功能只会给你多项式及其商这是一个相当小的类的真正功能，你甚至不能计算简单的功能，如，⌊ X ⌋，$2^x$$\lfloor x \rfloor$，...使用它们。$\sqrt x$

如果您的问题是是否存在从初始状态开始的物理系统会在一段时间内到达另一种状态，并且该状态始终是可计算的，那么答案取决于我们在谈论的是哪种物理，以及它的设置含义。初始配置并观察结果等。

如果我们只是在数学上谈论古典物理学（我们可以将任何初始配置设置为无穷大的精度，而无需考虑诸如设置配置所需的能量之类的问题，并且从数学的角度来看结果也是如此），那么我们已经知道长期以来，存在关于可计算函数的微分方程，但它们的解不可计算，请参见Marian B. Pour-El和J. Ian Richards，“ 分析和物理中的可计算性”。 ”，1989年。

$n>4$）。

通常，如果我们可以检查两个实数的相等性，则它们给出的函数不是连续的，并且不具有关于实数的典型信息类型，因此不能由图灵机计算，因为图灵机的任何函数（包括更高类型的函数）可以计算的是连续的（破坏了信息的拓扑）。

TL; DR： 如果用“模拟计算机”来表示差分分析仪，答案是加法器，常数单位和积分器。Bournez，Campagnolo，Graça和Hainry在2006年（付费专版 / 免费转载）表明，理想化的模型可以在可计算分析的框架内计算所有可计算函数，并且该模型仅需要这三种单位。

超越功能

您建议的操作集（加，乘，减和除法），甚至由根方程完成，根据定义，也不足以计算任何超越函数。先验功能包括非常常见的功能，例如$\sin$， $\exp$， $\log$。但是，如下所述，某些模拟计算机模型允许计算先验函数，并且基本上可以计算出可由图灵机计算的所有实函数。

模拟计算模型

正如其他人所强调的那样，模拟计算机的“通用计算”概念不如标准计算机清晰，标准计算机在标准计算计算机上具有不同的自然可计算性概念，而这种模型在1930年代被认为是等效的（有关详细信息，请参阅Church Turing论文的Wikipedia页）。 。

为了定义这种通用性，首先应该为模拟计算定义一个好的模型，这是一项艰巨的任务，因为模型应该被理想化并且自然到足以有用，但是理想化不应给模型带来不现实的力量。模型。这种理想化的一个例子是图灵机的无限磁带。模拟计算机的问题在于实数，它可能允许构建诸如Zeno机器之类的不合理的东西。但是，在文献中已经提出并使用了几种这样的模型（GPAC是该答案的主要主题，但是我尝试在下面的列表中完成该过程，而无需任何超级计算机）：

• 在通用模拟计算机（GPAC），通过定义克劳德E.Shannon在1941年（paywalled PDF）模型的微分分析仪。GPAC的定义最近得到了完善，其计算能力得到了向上修订；
• 的百隆-莎布-斯梅尔机，它作用在上实数离散时间。它与经常在计算几何中使用的Real RAM模型紧密相关。
• $\mathbb R$-recursive功能 ;
• 神经网络 ;
• 可计算分析，查看图灵机可计算的实数。

GPAC模型的力量

Shanon 在其1941年的论文中将GPAC引入到差分分析仪模型中。该模型仅需要3种互连单元（恒定单元，加法器和积分器。乘法器可以由积分器和加法器构建。）他证明了函数集生成是一组代数微分函数，但不包括超验函数。这意味着$\Gamma$ 和 $\zeta$不能生成图灵可计算的。换句话说，任何差分分析仪都不会有输出$y(t)=\Gamma(t)$长期以来，这种模拟计算机似乎并不是“通用的”，因为它无法生成数学家使用的某些合理的可计算函数。

但是，在2004年，丹尼尔·席尔瓦·格拉萨（Daniel SilvaGraça）表明，基于瞬时计算的先前模型过于严格。如果定义一个函数的可计算性$f$ 不同的是，允许 $y(t)$ 趋向 $f(x)$，用于输入 $x$，然后 $\gamma$ 和 $\zeta$函数可由GPAC计算。Bournez，Campagnolo，Graça和Hainry随后在2006年证明（付费版 / 免费转载），它的理想化模型允许在可计算分析框架内计算所有可计算函数。

Bournez，Graça和Pouly随后在2013年证明了这些模拟计算机可以有效地模拟图灵机（大pdf的第181页），并在2014年证明了该模型中的P和NP复杂度等级是等效的。

建议使用无限的神经网络对通用模拟系统进行建模是否有用，即对于给定的操作，可以将任何其他模拟系统的输入/输出值复制到匹配的神经网络中，并且可以根据需要链接操作？

尽管我确实自己提出了这种想法，但随后的搜索显示了一个类似的建议：

出现了类似Church-Turing的论文，该论文被应用于模拟计算领域，该论文以神经网络模型代替了数字Turing机器（请参见此处）。

可以说，那么您所需要的就是将值从一个节点移动到另一个节点的原始操作。袖口可以是正，负和除以得到连接之间的比率。

现在谈到棘手的问题，看看神经网络在哪里成功应用，或者由于在离散计算机上实现而表现不佳。

（如果我在这个话题上的近乎平庸的观点很明显，我深表歉意）