猜测最小的唯一正整数

让我们考虑以下游戏：有一些玩家和一台电脑。每个玩家输入一个正整数和他的名字（玩家不知道另一个人的数字，只是他自己的数字）。当所有玩家移动时，计算机将输出一个获胜者的名字-提交的唯一号码最低。

您如何看待，此游戏的最佳策略是什么？

在线有很多关于这款游戏的讨论，但您应该警惕，因为其中有些提供了错误的解决方案。该网站很好地阐述了如何解决此游戏。（部分基于本文。）您假设所有参与者都使用相同的混合策略，并且当所有参与者都使用此策略时，存在纳什均衡。这给出了三个玩家具有封闭式解决方案的方程式：您选择具有概率的整数$i$

其中0.543689是。$x^3 + x^2 + x = 1$

对于玩家，如果，仍然可以导出方程式，但是它们似乎没有闭合形式的解。但是，在最佳策略中，玩大于的数字的概率非常小，因此可以通过对方程进行数值求解来找到明确的近似最佳策略。$k$$k \geq 4$$k$

没有足够的声誉进行评论，但是，值得注意的是，如果您的对手按照彼得·索尔（Peter Shor）所说的纳什均衡策略（针对3人游戏）进行比赛，则无论选择多少数字，获胜的机会约为29.6％。如果您只玩一场游戏（因此没有人能确定自己的策略）并且考虑在所有玩家之间平局无非是输钱，那么诸如89285829358008871之类的大数将给您带来与1或2相同的获胜机会。

在这种特定情况下，尝试其他策略不会有任何损失，以防万一您的对手不符合您的假设。