SAT求解器的n分之一编码

25

我正在使用SAT解算器对问题进行编码，作为SAT实例的一部分，我具有布尔变量，其中这些变量中的一个应该为true，其余的应该为false 。（我有时将其描述为“一次性”编码。） $x_1,x_2,\dots,x_n$

我想在SAT中编码约束“一个必须为true”。编码此约束以使SAT求解器尽可能高效运行的最佳方法是什么？ $x_1,\dots,x_n$

我可以看到许多方法来编码此约束：

成对约束。我可以为所有添加成对约束以确保至多一个为true，然后添加以确保至少一个为true 。 $\neg x_i \lor \neg x_j$ $i,j$ $x_i$ $x_1 \lor x_2 \lor \cdots \lor x_n$

这将添加子句，并且没有额外的布尔变量。 $\Theta(n^2)$
二进制编码。 我可以引入新的布尔变量来表示（以二进制形式）一个整数，使得（添加一些布尔约束以确保在所需范围内）。然后，我可以添加一些约束来强制是tree，而所有其他都是false。换句话说，对于每个，我们添加强制执行子句。 $\lg n$ $i_1,i_2,\dots,i_{\lg n}$ $i$ $1 \le i \le n$ $i$ $x_i$ $x_j$ $j$ $i=j \Leftrightarrow x_j$

这增加了子句，我不知道有多少个额外的布尔变量。 $\Theta(n \lg n)$
计算真实值的数量。 我可以实现一个布尔加法器电路树，并要求，将每个视为0或1而不是false或true，然后使用Tseitin变换将电路转换为SAT子句。一棵半加法器树就足够了：将每个半加法器的进位输出限制为0，并将该树中最后一个半加法器的最终输出限制为1。可以选择任何形状的树（平衡的二叉树，或不平衡的树，等等。 $x_1+x_2+\dots+x_n=1$ $x_i$

这可以在门中完成，因此可以添加子句和新的布尔变量。 $\Theta(n)$ $\Theta(n)$ $\Theta(n)$

这种方法的一个特例是引入布尔变量，以使应该包含。可以通过添加以下子句，和来强制实施此意图（其中，将视为a false的同义词。接下来，我们可以为添加限制。这基本上等效于半加法树的Tseitin变换，其中树具有最大的不平衡形状。 $y_1,\dots,y_n$ $y_i$ $x_1 \lor x_2 \lor \cdots \lor x_i$ $y_i \lor \neg x_i$ $y_i \lor \neg y_{i-1}$ $\neg y_i \lor x_i \lor y_{i-1}$ $y_0$ $i=1,\dots,n$ $\neg y_i \lor \neg x_{i+1}$ $i=1,2,\dots,n-1$
蝴蝶网。我可以在位上构建蝶形网络，将位输入约束为，将位输出约束为，并将每个2位蝶形门视为独立的门，交换或不交换其输入，并根据不受约束的新的布尔变量决定要执行的操作。然后，我可以应用Tseitin变换将电路转换为SAT子句。 $n$ $n$ $000\cdots 01$ $n$ $x_1 x_2 \cdots x_n$

这需要门，因此添加了子句和新的布尔变量。 $\Theta(n \lg n)$ $\Theta(n \lg n)$ $\Theta(n \lg n)$

还有其他我忽略的方法吗？我应该使用哪一个？有没有人对此进行过测试或尝试过，还是有任何经验？子句的数量和/或新的布尔变量的数量是否是评估此问题对SAT求解器性能影响的良好替代指标，或者如果不是，您将使用哪种指标？

我只注意到这个答案对强制基数约束SAT，即，实施该约束恰好一些参考了出来变量是真实的。因此，我的问题归结为的特殊情况。也许有关基数约束的文献将有助于阐明我的问题。 $k$ $n$ $k=1$

satisfiability sat-solvers applied-theory

— DW
source

大多数现代SAT求解器都支持基数子句和其他特殊（非CNF）约束。

— 戴维·霍瓦斯

12

对于特殊的情况，其中k = 1，n个变量中的k个为true，Klieber和Kwon 进行了有效的CNF编码，用于选择1到N个对象中所述，进行了指令变量编码。简化：将变量分成小组并添加子句，这些子句会导致命令变量的状态暗示一组变量要么全为假，要么全为假。然后将相同的算法递归地应用于命令变量。在过程结束时，要求少数几个最终指挥官变量中的确切一个是正确的。结果是O（n）个新子句和O（n）个新变量。

鉴于在基于DPLL的求解器中普遍存在两面文字，我认为O（n）子句的增长是优于将添加更多子句的编码方案的决定性优势。

— 凯尔·琼斯（Kyle Jones）
source

2

如果“小组”的大小为2，则这只是二进制加法，其中“命令者”为结果位，并且进位被断言为false。递归地完成，此方法是完全通用的（适用于N的1），并且实际上是实际可行的。

— d8d0d65b3f7cf42 2015年

3

MagnusBjörk的一篇论文描述了两种可能值得尝试的技术。

$n$ $x_1,\dots,x_n$ $y_1,\dots,y_b$ $b = \lg n$ $(x_1 \lor \dots \lor x_n)$ $2 \lg n$ $x_i \implies \neg y_j$ $x_i \implies y_j$ $j$ $i$

$k$ $n$ $x_1,\dots,x_n$ $y_1,\dots,y_n$ $y_k$ $y_{k+1}$ $O(n \lg^2 n)$ $O(n \lg^2 n)$

纸是

马格努斯·比约克（MagnusBjörk）。成功的SAT编码技术。2009年7月25日。

$n$ $k$ $n$

艾伦·弗里希（Alan M.Frisch），保罗·吉安娜罗斯（Paul A. 最大k约束的SAT编码：一些旧的，一些新的，一些快速的，一些慢的。ModRef 2010。

— DW
source