与自身连接的单词语言的上下文相关语法

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我在寻找一个描述以下语言的上下文敏感语法：。 $L = \{ ww \mid w ∈ \{a,b\}^{\ast}, |w| ≥ 1\}$

我遇到这样的问题，即不允许使用类的规则，因此我不能放置任何非终结符来表示单词的“中间”。这个问题有招吗？ $X \to \varepsilon$

formal-languages formal-grammars context-sensitive

— 博尔顿先生
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无聊的答案：制定一个LBA并应用用于证明LBA和上下文相关语法同样强大的模拟。

— 拉斐尔

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确实，有一个简单的技巧可以让您在某个位置添加额外的信息：只需替换该位置旁边的字母，并用信息和原始字母标记即可。

在您的示例中，中间有一个非终结符，但由于不能删除，因此也算作普通字母。因此，我们有两个副本和表示被替换的字母。在推导的最后，标记应替换为字母内容，并使用简单的生成方式（如替换。 $M$ $M_a$ $M_b$ $M_a\to a$

在大多数情况下，需要在推导过程结束时执行的应用。在某些构造中，这不需要“计时”：当消失太早时，推导找不到合适的位置，并且该过程也不会成功停止。在其他情况下，确实需要一种控制。有时可以通过引入非终结符作为沿字母移动的信号来完成此操作。同样，此信号还应带有一个端子，否则您将遇到相同的问题。 $M_a\to a$ $M$

围绕移动信息容易在所谓的单调文法（与使用如规则），这可以看作是的跳跃过。对于适当的上下文相关语法，需要将其分为三个步骤： $\alpha\to \beta$ $|\alpha|\le\beta|$ $XA \to AX$ $X$ $A$ $XA \to XA^X, XA^X\to AA^X, AA^X\to AX$ 。在每个作品中，在适当的上下文中更改一个字母。看到这个过程与推导的其他部分不相互作用，需要花费大量的想象力。例如，当最后一步中的首先涉及另一个推导步骤时，会发生什么？ $A$

当信息多于可用职位时，这可能不适用于简短的单词。最简单的解决方案是忽略构造中的短字符串，并分别生成它们。

— 亨德里克·扬
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是否不要求以一定的顺序查看生产的产品，以便在将非末端重新排列到末尾之前不使用Ma→a？还是我错过了什么？

— MrBolton

我在回答中对此添加了注释。在某些解决方案中，过早应用这种生产将导致无法成功完成的句子形式。在其他情况下，必须仔细同步生产。常识和反复试验的问题。

— Hendrik 2013年1

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简短的默认答案：提供一个接受该语言的LBA，并使用模拟来证明上下文相关语法和LBA定义了相同的语言集。但这当然不是你所追求的。

在这种特定情况下，尝试考虑对使用一次右线性语法，一次对左，另一半对右。您所要做的就是确保两个语法都“同步”派生。 $\Sigma^*$

这可以通过在控制令牌周围交换来完成。也就是说，左语法选择一个规则，生成拟合控制令牌并将其传递给右语法。正确的语法查看控制标记并执行拟合规则。请注意，您也可以通过这种方式实现双向通信，但是这里没有必要。

上下文相关的语法有一个问题：它们永远不能删除非终结如果语言中有空单词，则除外）。因此，我们只需要创建所需数量的非终端即可；没有一个可以是多余的。 $S \to \varepsilon$

实现这一目标的方法之一是使用相同的伎俩约LBA某些证明：产生你将需要所有非终端的第一，即准备“磁带”。稍后，在该磁带上“四处移动”。仅在“末尾”，将所有非端子替换为端子。

因此，让其中（结构很容易扩展到更大的字母），而，由以下规则给出。 $G=(N, \Sigma, \delta, S)$ $\Sigma = \{a,b\}$ $N$ $\delta$

是用于产生“带”的规则。注意，帽子表示“头部位置”，而索引表示非终结符属于单词的哪一半。因此，为了保护下面的某些规则，会生成简短的单词。现在我们需要规则以在左侧导出一个符号： $\qquad \begin{align} S &\to \hat{X}_l S' X_r \mid aaaa \mid abab \mid baba \mid bbbb \mid aa \mid bb \mid \varepsilon \\ S' &\to X_l S' X_r \mid X_l \hat{X}_r \end{align}$

$l,r$

对于所有 $\qquad \begin{align} \hat{X}_l X_l &\to X_\gamma \hat{X}^\gamma_l \\ \hat{X}_l X_\alpha &\to X_\gamma X^\gamma_\alpha \end{align}$

。注意我们如何使用较高的索引将生成的符号带到右侧。和是“最终的”非终端，将仅用于在周围移动控制令牌并稍后派生终端。此外请注意，第二个规则（仅）用于右半部分的最后一个符号。对于随身携带移动到右前卫，我们要搬过去两个剩余和已经产生的： $(\alpha, \gamma) \in \Sigma^2$ $X_a$ $X_b$

$X_l$ $X_\alpha$

对于所有。现在，一旦进位到达右侧控制令牌，我们就必须模仿左侧使用的规则： $\qquad \begin{align} \hat{X}^\gamma_l X_l &\to \hat{X}_l X^\gamma_l \\ \hat{X}^\gamma_l X_\alpha &\to \hat{X}_l X^\gamma_\alpha \\ X^\gamma_l X_l &\to X_l X^\gamma_l \\ X^\gamma_l X_\alpha &\to X_l X^\gamma_\alpha \\ X^\gamma_\alpha X_\beta &\to X_\alpha X^\gamma_\beta \end{align}$

$(\alpha, \beta, \gamma) \in \Sigma^3$

为所有。请注意，第一个规则用于右半部分的第一个符号，而最后一个规则只能用于最后一个符号，否则推导永远不会终止。现在我们只需要终止规则 $\qquad\begin{align} X^\gamma_l \hat{X}_r &\to X_l \hat{X}^\gamma_r \\ X^\gamma_\alpha \hat{X}_r &\to X_\alpha \hat{X}^\gamma_r \\ \hat{X}^\gamma_r X_r &\to X_\gamma \hat{X}_r \\ \hat{X}^\gamma_r &\to X_\gamma \end{align}$

$(\alpha, \gamma) \in \Sigma^2$

所有而我们正在这样做。这些规则也只能在完成所有操作后（左侧）才能应用，否则派生将不会终止。请注意，这种语法是模棱两可的。不仅可以能（安全）在任何地方应用到左左“头”在任何时间，但也可以有多个同时进行携带。由于它们永远无法超越对方，因此可以维持正确的顺序。此言一，必须仍然取得了：上面的语法是不是上下文相关的许多规则的变化都 $\qquad X_\alpha \to \alpha$

$\alpha \in \Sigma$

$X_\alpha \to \alpha$

左侧的符号。上下文相关的语法不允许这样做。幸运的是，我们可以模拟形式的任何规则 $R$

由 $\qquad A B \to C D$

所以我们很好，可以使用较小的语法。练习表明，多个这样的模拟之间的干扰不会造成伤害。 $\qquad \begin{align} A B &\to A Y_R \\ A Y_R &\to X_R Y_R \\ X_R Y_R &\to X_R D \\ X_R D &\to C D \end{align}$

$L_k = \{ w^k \mid w \in \Sigma^*\}$ $L = \bigcup_{i\geq 1} L_k$ $L^k$ $L$

— 拉斐尔
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$X$

$w$ $|w| \ge 1$ $\varepsilon$

a X a \to a a, a X b \to a b, b X a \to b a, b X b \to b b

$aXa \to aa,\ \ aXb \to ab,\ \ bXa \to ba,\ \ bXb \to bb$

$w$

— 人民币
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但是，使用@ hendrik-jan的方法可以为您节省两条规则。

— Rmn