多集的数量，这样从1到

我的问题。给定，我想计算有效多集S的数量。多重集S在以下情况下有效$n$$S$$S$

• 的元素之和为n，并且$S$$n$
• 从到n的每个数字都可以唯一地表示为S的某些元素的总和。$1$$n$$S$

例。 例如，如果然后{ 1 ，1 ，1 ，1 ，1 } ，{ 1 ，2 ，2 } ，{ 1 ，1 ，3 }是有效的。$n=5$$\{1,1,1,1,1\}, \{1,2,2\}, \{1,1,3\}$

然而，是无效的，因为2可以通过形成两个{ 1 ，1 }和{ 2 }（即，2可以被表示为两个2 = 1 + 1和2 = 2） ，因此第二个条件不成立。类似地3能够通过形成{ 2 ，1 }和{ 1 ，1 ，1 }。$S=\{1,1,1,2\}$$\{1,1\}$$\{2\}$$2=1+1$$2=2$$\{2,1\}$$\{1,1,1\}$

}也无效，因为从所有数字 1至 5都可以被唯一制成，但的元素之和小号不是 5。$S=\{1,2,4$$1$$5$$S$$5$

我试图为这个问题找到一个好的算法已经有一段时间了，但是无法解决。它来自codechef。我已经看到了一些提交的解决方案，但是仍然无法获得解决问题的逻辑。注意：问题的时限为10秒，$n<10^9$

对于多集，我将使用符号a i < a j如果i < j，这意味着a i在多集S中出现c i次。$S = \{(a_1, c_1), (a_2, c_2) ... \}$ $a_i<a_j$$i<j$$a_i$$c_i$

到目前为止，我已经得出了一些结论

• 所需的已排序多重集的第一个元素应为$1$
• 令是一组以下两个属性然后∀ ř < ķ 一个[R + 1 = 一个ř  或  （Σ [R 我= 0一我）+ $S=\{1,a_2 \cdots a_k\} | a_1 \leq a_2\cdots \leq a_k$$\forall r<k \ \ a_{r+1} = a_r \text{ or } (\sum_{i=0}^ra_i) + 1$
• 令，其中一个我正在发生Ç 我倍，如下所要求的特性然后从上面的结论我们可以说，∀ 我一个我| n + 1和$S=\{(1,c_1),(a_2,c_2) \cdots (a_k,c_k)\} | a_1 \leq a_2\cdots \leq a_k$$a_i$$c_i$$\forall i \ a_i|n+1$如果 Ĵ > 我。 证明：一个我+ 1 = （一个我ç 我 + 一个我 - 1 ）+ 1 ⇒ 一个我| 一个我+ $a_i | a_j$$j > i$
  $a_{i+1} = (a_ic_i + a_i -1 ) + 1 \Rightarrow a_i | a_{i+1}$
• 现在考虑即，所有1之后的后续数字将是d的倍数。所以让f （n $S=\{ \underbrace{1,1 \cdots 1}_{d-1},d,d \cdots d,dm_1, dm_1 \cdots dm_1,dm_2, dm_2 \cdots dm_2, \cdots \}$$d$$f(n)$是可能的此类多重集的计数，则其中，我求和的所有可能数量1'小号（=d-1）。换句话说，f（n−1）=g（n）=∑d| n，d≠ng（d$f(n) = \sum_{d|n+1, d\neq 1} f(\frac{n-(d-1)}{d})$$1's$$=d-1$$f(n-1)=g(n)=\sum_{d|n,d \neq n}g(d)$

最终，我的问题归结为这一点-有效地找到，使其不超过时间限制。$g(n)$

这是最快的解决方案正在做的事情。它确实在计算您的函数 鉴于 Ñ，我们因子（见下文），然后计算所有因素（见下文） ˚F 1，... ，˚F 米以某种顺序，使得 ˚F 我| ˚F Ĵ意味着我≤ Ĵ（属性P）。现在，我们通过按给定顺序遍历因子，根据公式计算 g。属性P确保当我们计算 g （d ）时，我们已经为所有非平凡因子 e计算了 g （e

更详细地讲，我们按顺序遍历这些因子，对于每个因子，我们通过检查f 1，... ，f i − 1中的哪一部分除以f i来找到其所有非平凡因子。$f_i$$f_1,\ldots,f_{i-1}$$f_i$

分解：预处理：我们使用Eratosthenes筛子列出以下的所有素数。给定n，我们仅使用试验除法。$10^9$$n$

生成所有因素：这是递归完成的。假设。我们运行吨嵌套循环升1 ∈ { 0 ，... ，ķ 1 } ，... ，升吨 ∈ { 0 ，... ，ķ 吨 }，并输出p 升1 1 ⋯ p 升吨吨。您可以通过归纳证明性质P。$n = p_1^{k_1} \cdots p_t^{k_t}$$t$$l_1 \in \{0,\ldots,k_1\},\ldots,l_t \in \{0,\ldots,k_t\}$$p_1^{l_1}\cdots p_t^{l_t}$

优化：由于该程序在多个输入上运行，因此我们可以使用备忘录来节省不同输入之间的时间。我们仅存储较小的值（最多），这使我们可以将所有存储的值存储在数组中。该数组用零初始化，因此我们可以知道哪些值是已知的（因为所有计算值均为正值）。$10^5$

如果的因式分解是p ķ 1 1，... ，p ķ 吨吨，然后˚F （Ñ ）仅取决于（ķ 1，... ，ķ 吨），并且实际上只在该载体中的排序的版本。每个低于10 9的数字最多具有29个素数（重复），并且由于p （29 ）= 4565，计算f似乎是可行的$n+1$$p_1^{k_1},\ldots,p_t^{k_t}$$f(n)$$(k_1,\ldots,k_t)$$10^9$$29$$p(29)=4565$$f$（或更确切地说）递归地。如果有许多不同的输入，则此解决方案可能会更快。实际上，最多为10个。$g$$10$

将分区映射到相应此函数也可能具有明确的分析形式。例如，g （p k）= 2 k - 1，g （p 1 … p t）由A000670给出，g （p 2 1 p 2 … p t）由A005649或A172109给出。$g$$g(p^k) = 2^{k-1}$$g(p_1\ldots p_t)$$g(p_1^2 p_2\ldots p_t)$

好的，所以您有一个的递归关系（请参阅问题的结尾）。$g(\cdot)$

在这一点上，似乎一种自然的方法是记下递归算法以计算并应用记忆，这样您就不会重复计算g （i ）。换句话说，当你计算克（我），则其存储在映射哈希表我↦ 克（我） ; 如果以后需要再次知道g （i ），可以在哈希表中查找它。$g(n)$$g(i)$$g(i)$$i \mapsto g(i)$$g(i)$

这确实需要保，但也有保高效的算法ň当ñ ≤ 10 9。$n$$n$$n\le 10^9$

你也可以查找序列在 整数序列的在线百科全书。如果您在其百科全书中找到了序列，有时他们会提供其他有用的信息（例如，用于计算序列的有效算法）。诚然，这可能会使事情变得无趣。$g(1),g(2),g(3),g(4),g(5),\ldots$

这是一个入门的提示。应用标准的动态编程算法来枚举整数分区，并添加一些逻辑以通过迭代检查所有和，进行更改并验证唯一性来检查哪些允许唯一更改。

在一些详细信息：假设你有一个多集。鉴于一些我用1 ≤ 我≤ ñ，你怎么能确定的SUBMULTISET 小号，总结到我？您如何检查该子多重集是否唯一？尝试采用标准的动态编程技术进行更改。（另请参阅此问题。）$S$$i$$1 \le i \le n$$S$$i$

$S$$n$$S$

$P(n)$$P(1), P(2), \dots, P(n)$$P(n+1)$

这是一种可能会更好的方法。

$S$$n$$T$$S$$T$$n'$

$x$$S$$S$$T$$x$$S$$S$$T$$n$

$S$$A[1\ldots |S|,1 \ldots n]$$A[i,j]$$j$$i$$S$$i$$S$$S$$S=\{s_1,s_2,\dots,s_k\}$$s_1\le s_2 \le \cdots \le s_k$$A[i,j]$$A[1\ldots i-1, 1\ldots j-1]$$A[i,j] = A[i-1,j] \lor A[i-1,j-s_i]$$j>s_i$$A[i,j]=A[i-1,j]$$S$

$T$$S$$S$$T$$n$$S$$n'$$T$$n+1,n+2,\ldots,n'$$T$$A$$A[1\ldots |T|, 1 \ldots n']$$A[|T|,n+1], A[|T|,n+2], \ldots, A[|T|,n']$$T$$S$

$S$$n$$n\le 20$$P[1\ldots 20]$$P[5]$$S$$P[n]$$S$$n$

$P[n]$$P[1]$$\{1\}$$n$$S \in P[n]$$T$$S$$n'$$T$$T$$P[n']$$n' \le 20$

这应该是可行的。祝好运！玩得开心！仔细研究细节将是动态编程中的良好学习练习。