通用类型是存在类型的子类型还是特例？

我想知道一个普遍-量化类型是否：是一个存在限定的一个子类型，或特殊情况下，键入具有相同签名： $T_a$

T_{a} = \forall X : {a \in X, f : X \to {T, F}}

$T_a = \forall X: \left\{ a\in X,f:X→\{T, F\} \right\}$

T_{e}

$T_e$

T_{e} = \exists X : {a \in X, f : X \to {T, F}}

$T_e = \exists X: \left\{ a\in X,f:X→\{T, F\} \right\}$

我会说“是”：如果事情是真实的“对所有X”（）的话，那也必须是真实的“对一些X”（）。也就是说，“声明 ”仅仅是与“相同的说法更受限制的版本 ”： $\forall X$ $\exists X$ $\forall$ $\exists$

\forall X, P (X) \overset{?}{⟹} \exists X, P (X) .

$∀X, P(X) \overset?\implies ∃X, P(X).$

我在某个地方错了吗？

背景：为什么我要问这个？

我正在研究存在类型，以了解“抽象[数据]类型具有存在类型”的原因和方式。单凭理论我无法很好地理解这个概念。我也需要具体的例子。

不幸的是，很难找到好的代码示例，因为大多数编程语言仅对存在类型提供有限的支持。（例如，Haskellforall或Java的?通配符。）另一方面，许多最近的语言通过“泛型”支持通用量化的类型。

更糟糕的是，泛型似乎也很容易与存在类型混为一谈，这使得区分存在类型与通用类型变得更加困难。我很好奇为什么这种混淆如此容易发生。这个问题的答案可能可以解释这一点：如果通用类型确实只是存在类型的特殊情况，那么也就不足为奇了，通用类型（例如Java）List<T>可以用任何一种方式进行解释。

logic type-theory typing

— 拉斐尔
source

普遍和存在之间有什么区别？

从数学上讲，你是正确的：如果forall x. P(x)然后exists x. P(x)。检查类型时类型系统是否考虑到了这一点...我不知道。+1是一个有趣的问题。

@deinan：如果P（x）对任何x不成立，那么肯定 ∀xP（x）不成立。当没有什么，你可能是指为X，即∀x∈XP（X）并不意味着∃x∈XP（X）如果X =∅。

...而且请注意，如果不使用设置符号来重写它们，它们的外观将有所不同：∀xx∈X⇒P（x）与.xx∈X＆P（x）以及andxx∈X⇒P（x）会被任何有微弱满足X从不X。

很酷的问题。在Haskell中，确实可以将类型的值（forall b。Show b => b）传递给采用a（forall b。b）的函数，但反之则不行，这意味着您希望从中获得可替换性子类型关系。但是，当然，当您谈论类型时，您应该提到您要查看的类型系统，尤其是如果您考虑到语义的形式类型代数...

Answers:

$\forall x:T, P(x)$ $\exists x:T,P(x)$ $T$

$(\forall x:T, P(x)) ⇒ (\exists x:T, P(x))$ $T_a$ $T_e$

$T_a = ∀X.\{a: X, f: X\rightarrow\mathsf{bool}\}$ $A$ $A(M)$ $M:X$ $M_1$ $M_2$ $X$ $A(M_1)$ $A(M_2)$ $T_a$

$T_e = \exists X.\{a: X, f: X\rightarrow\mathsf{bool}\}$ $B$ $T_e$ $N: X$ $\pi_1(B) = N$ $\pi_2(B) = \{a:N, f:N\rightarrow\mathsf{bool}\}$ $N$

不要被Haskell的误导forall：尽管它的名字，它是一种存在量词。

对于背景，我强烈建议类型和编程语言（第23和24章分别讨论通用类型和存在类型）。这将为理解研究文章提供有用的背景。

— 吉尔斯“别再邪恶了”
source

Haskell forall的确是一个次要的但很晚的怪癖，在隐式量化的原始上下文中，Haskell 的确是一个通用量词，即隐式量化的原始上下文，即从顶级“外部”查看多态类型。在这种定义的“内部”，当处理参数时，多态类型实际上是存在的。每个类型变量都绑定到某种类型，但是我们不知道（也不知道）该类型是什么。据我所知，尚无Haskell实现支持真正的（原始的，顶级的）存在类型，而且我还不清楚该实现什么目的。

— CA McCann 2012年

GHC支持的存在类型是（直接或间接）具有通用量词的类型，从“外部”看，它们位于互变位置。这使用了与逻辑否定大致相同的对偶性，因此，为了在顶层具有这样的存在类型，必须使用类似CPS的编码将它们双重加倍（这是Uday Reddy给出的等效性）。请注意，出于相似的原因，直觉主义中的存在量词也会带来类似的不便。

— CA McCann 2012年

$\forall X.\, P(X)$ $\exists X.\, P(X)$

$\forall X.\, (X \times (X \to Bool))$ $X$ $\exists X.\, (X \times (X \to Bool))$

 f (p: \forall X. (X * (X -> Bool))) = PACK X = Bool WITH p[Bool]

您提到的关于存在性类型的文章有点理论化。Cardelli和Wegner的文章是更多教程文章：关于理解类型，数据抽象和多态性。有关编程语言的大多数高级教科书也将对存在类型进行一些讨论。Mitchell的《编程语言基础》是一本好书。

正确的是，大多数编程语言都没有显式的存在类型。但是，许多确实具有抽象类型（或使用其他名称，例如“包”或“模块”）。因此，即使它们不将这些值视为一等实体，它们也能够表达存在类型的值。

$\exists X.\, P(X)$ $\forall Y.\, (\forall X.\, P(X) \rightarrow Y) \to Y$ $\forall$

— 乌代·雷迪（Uday Reddy）
source