“零一”拼图是否完整？

我感兴趣的平铺的轻微变型中，“线锯”之谜：一个（正方形）瓦片的每个边缘被标记与来自符号，以及两个瓷砖可以被放置成邻近彼此当且仅当在一个瓦片的衬缘的符号是ķ并且在另一瓦片的衬缘的符号是ˉ ķ，对于一些ķ ∈ { 1 ... ñ }。然后，给定一组m 2的瓷砖，可以将它们放置在m × $\{1\ldots n, \bar{1}\ldots\bar{n}\}$$k$$\bar{k}$$k\in\{1\ldots n\}$$m^2$$m\times m$正方形（旋转但不翻转瓷砖）且所有边缘正确匹配？（在此问题上还有一个变体，其中提供了四个 “框架”边缘，并且这些块必须正确地放入该框架中）。$1\times m$

我知道对于足够大的，这个问题是NP完全的，但是我在n上看到的界限似乎很大。我对n的较小值特别是n = 1的问题感兴趣，尤其是在n 为1的情况下（“零一”情况）（其中每个边都标记为0或1且边为0的边必须与边为1的边匹配）$n$$n$$n$$n=1$$0$$1$$0$$1$）。在这里（具有旋转对称性）只有六种图块类型（全零图块，全一图块，具有三个零和一个零的图块，具有三个一和零的图块以及具有两个零的两个不同的图块）和两个“ 0011”和“ 0101”），因此问题实例只是一个的规范以及一组五个数字T 0000，T 0001，T 0011，T 0101，T 0111和T 1111（代表计数）每种类型的瓦），用Ť 0000 + Ť 0001 + Ť 0011 + $m$$T_{0000}$$T_{0001}$$T_{0011}$$T_{0101}$$T_{0111}$$T_{1111}$。问题很明显是在NP中（其中m以一元给出），因为可以简单地展示一个解决方案，然后以多项式（以m）为单位进行检查，但是已知它是NP完全的，或者有某种动态编程算法可以在这里申请？如果问题说明中还包括要匹配的正方形的四个边，那么在“框架”情况下该怎么办？（很明显，如果未定格的案例是NP完全的，那么定格的案例几乎也可以确定）$T_{0000}+T_{0001}+T_{0011}+T_{0101}+T_{0111}+T_{1111}=m^2$$m$$m$

既然您提到您有兴趣解决小值问题，我建议您尝试以SAT求解器或整数线性程序（ILP）的形式实现。任一者都可以对约束进行编码，但方式略有不同：$n$

• 对于SAT，有一个非常干净的编码可以选择进入每个方格的图块，而对于每个图块的数量的约束（使用位算术）的编码则不太干净。

• 对于ILP，关于可用的每种类型的图块的数量的约束的编码非常简洁，而对于彼此相邻的图块的约束的编码则不太清晰（但是仍然可以表示，因为您可以在ILP中表达任意布尔公式）。

我希望对于中小型，此方法可能有效。$n$