扫线矩形覆盖

不幸的是，我没有得到成功的锻炼。

有一组矩形和一个矩形。使用平面扫描算法确定R_ {1} .. R_ {n}集是否完全覆盖了R_ {0 }。 - [R $R_{1}..R_{n}$$R_{0}$ R 1。。[R $R_{0}$$R_{1}..R_{n}$

有关扫掠线算法原理的更多详细信息，请参见此处。

让我们从头开始。最初，我们将扫掠线算法称为查找线段相交的算法，它需要两个数据结构：

• 一组事件点$Q$（它存储线段和相交点的端点）
• 状态$T$（扫掠线相交的一组线段的动态结构）

总体思路：假设扫掠线$l$是一条垂直线，从左侧开始接近矩形组。对矩形的所有$x$坐标进行排序，并将它们按升序存储在$Q$中-应该取$O(n\log n)$。从第一个事件点开始，对于每个点，确定在给定$x$坐标处相交的矩形集，确定相交矩形的连续段，并检查它们是否在当前x坐标处完全覆盖R_ {0}。以T作为二叉树，它将取O（\ log n）。如果R_ {0}的任何部分未被发现，则表示$R_{0}$$x$$T$$O(\log n)$$R_{0}$$R_{0}$未完全涵盖。

详细信息：分段相交算法的思想是仅相邻的分段相交。基于这一事实，我们建立了状态$T$并在整个算法中对其进行了维护。我试图在这种情况下找到类似的想法，但到目前为止没有成功，我只能说两个矩形如果它们对应的$x$和$y$坐标重叠则相交。

问题是如何建立和维护$T$，什么建筑的复杂性和维护$T$的。我认为R树在这种情况下可能非常有用，但是正如我发现的那样，使用R树确定最小边界矩形非常困难。

您是否有关于如何解决此问题的想法，尤其是如何构建？$T$

让我们从轴对齐的矩形开始，因为有一种简单的直接参数。我们将扫一条垂直线。事件是矩形水平边缘的端点。正如我们扫我们维护一组关于扫描线间隔的是“未覆盖”，由[R 我，我≥ 1：$n$$R_i$$i\ge 1$

• 初次遇到R i时，将矩形覆盖的垂直间隔添加到扫描线$R_i$$R_i$
• 当矩形线R i经过R i时，从扫掠线中删除矩形覆盖的垂直间隔$R_i$$R_i$

使用二叉树很容易做到这一点，以便更新花费时间。（问题本质上是一维的。您可以确定端点是否处于未覆盖的间隔中，并在添加时适当地扩展/合并，在删除时要加长）。$O(\log n)$

然后，您只需检查一下，在的跨度中，没有发现的间隔与R 0的垂直跨度相交。整个事情是O （n log n ）乘以O （n ）空间。$R_0$$R_0$$O(n\log n)$$O(n)$

对于一般情况，显而易见的技巧并不是那么快。使用标准扫掠线算法来计算由矩形引起的整个平面细分。

显然，这些面的一些盘状集合覆盖了R 0。本身，这还不能告诉我们足够的信息，因为我们感兴趣的是这些面中的任何一个是否在R 0的内部以及在其他矩形的外部。为此，我们对结构进行了一些修改，以便在添加边缘时，我们用矩形内部的标识标记一侧。这增加了O （1 ）开销，因此构造是O （n 2 log n ）时间。在不假设矩形的情况下，输出可以为Ω （n 2$F'$$R_0$$R_0$$O(1)$$O(n^2\log n)$$\Omega(n^2)$ 大小，因此在最坏的情况下我们会使用那么多空间，因此时间虽然不是“输出敏感”的，但实际上是“最佳的”。

最后，只要F '中的所有面都没有仅边缘未标记为R i的边缘，就覆盖。关键是，如果f的边在R i中，则整个f也是。想象一下，沿着该边缘在f上正交地扫过一条线：它只能使R i离开f之外，或者f受R i的多个边缘限制。$R_0$$F'$$R_i$$f$$R_i$$f$$f$$R_i$$f$$f$$R_i$

因此得出的结论是，特殊情况至少为，而一般情况至少为O （n 2 log n ），但是我怀疑它可以改进。$O(n\log n)$$O(n^2\log n)$