分而治之的理论基础

在算法设计方面，通常采用以下技术：

• 动态编程
• 贪婪策略
• 分而治之

尽管对于前两种方法，有著名的理论基础，即Bellman最优性原理和拟阵理论（分别是Greedoid），但我找不到基于D＆C的算法通用框架。

首先，我知道我们（或更确切地说，教授）在函数式编程类中引入的某种东西，称为“算法框架”，它是在组合器的上下文中产生的。作为示例，我们为D＆C算法提供了如下框架：

定义：令为非空集。我们称解的元素，而的元素（即的子集）称为问题。然后，D＆C骨架为4元组，其中：$A,S$$S$ $P:=\mathfrak{P}(A)$$A$$(P_\beta, \beta, \mathcal{D}, \mathcal{C})$

• $P_\beta$是在一系列问题的谓词和我们说一个问题是基本的当且仅当成立。$p$$P_\beta(p)$
• $\beta$是映射，为每个基本问题分配解决方案。$P_\beta \rightarrow S$
• $\mathcal{D}$是一个映射 ，它将每个问题分为一组子问题。$P \rightarrow \mathfrak{P}(P)$
• $\mathcal{C}$是一个映射，它将子问题的解决方案（取决于“枢轴问题”的类型）连接起来以产生一个解决方案。$P\times \mathfrak{P}(S) \rightarrow S$

然后，对于给定的骨架和问题，以下泛型函数计算一个解（在形式上义）为：$s=(P_\beta, \beta, \mathcal{D}, \mathcal{C})$$p$$f_s: P\rightarrow S$$p$

$f_s(p)= \left\{ \begin{array}{l l} \beta(p) & \quad \text{if $p$ is basic}\\ \mathcal{C}(p,f(\mathcal{D}(p))) & \quad \text{otherwise} \end{array} \right.$

在第二行中，对于映射的共域的子集，我们使用符号。$f(X) := \{f(x) : x\in X\}$$X$$f$

但是，我们没有进一步检查可以用这种方式表达的问题的潜在“结构”属性（正如我所说的，这是一个函数编程类，这只是一个小例子）。不幸的是，我找不到这种方法的进一步参考。因此，我认为上述定义不是很标准。如果有人认识到我上面所说的内容，我会对相关文章感到高兴。

其次，对于贪心策略，我们得出了著名的结果，即当且仅当其解决方案构成加权拟阵时，一般贪心算法才能正确解决问题。D＆C算法是否有相似的结果（不一定基于上述方法）？

使用所谓的伪态态（即几乎是态态的函数，并完成了一些计算前和运算后）对对象的形式化处理（有点类似于问题中提出的模型）这些算法的分析和并行实现如下：

Zhijing G. Mou和Paul Hudak 提出的分治法及其并行性的代数模型（《超级计算机杂志》，第2卷，第3期，第257-278页，1988年11月）

我不知道像贝尔曼的“分而治之”算法的最佳性原则那样具体的东西。但是，对我而言，分而治之的基础似乎是对问题输入的递归（或归纳式）定义，然后是将问题的解决方案组合为更大的解决方案的一种方法。此处的关键见解是递归地考虑问题输入，并将其运用到递归D＆C算法中。

以mergesort为例。让我们从输入开始，它是元素的数组。可以递归定义数组的结构，如下所示：$n$

• 对于，数组为空。$n=0$
• 对于，数组是单例元素$n=1$
• 对于，该数组是大小为（左）和大小为（对）$n>1$$\lceil{\frac{n}{2}}\rceil$$\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor$

然后，我们通过将排序映射到此结构来处理mergesort算法。基本情况，其中被简单排序。递归的情况是从递归排序数据的递归位置开始的，即左和右。然后，我们基本上找到了串联的替代，最终被合并。因此请注意，我们基本上只是采用了数据的递归结构并将其映射到递归解决方案。 $n\leq1$

重要的是要注意，这并不一定会带来D＆C算法所期望的结果。我们可以如下定义数组结构：

• 对于，数组为空。$n=0$
• 对于，该数组是连接到大小为的数组的单个元素。 $n>0$$n-1$

按照我们在此处用于mergesort的相同策略，可以进行递归插入排序。因此，通常我们会开发涉及多个递归元素的递归定义，即将数据集切成一半或三分之一。

现在，有了用于分析D＆C算法的主定理，这为具有特定总体运行时效率的D＆C算法子组件的效率期望提供了一些启示。