递归关系的渐近逼近（Akra-Bazzi似乎不适用）

假设算法具有运行时重复关系：

$T(n) = \left\{ \begin{array}{lr} g(n)+T(n-1) + T(\lfloor\delta n\rfloor ) & : n \ge n_0\\ f(n) & : n < n_0 \end{array} \right.$

对于一些常数。假设是多项式，也许是二次的。最有可能在为指数。 $0 < \delta < 1$ $g$ $n$ $f$ $n$

如何分析运行时（很好）？主定理和更一般的Akra-Bazzi方法似乎并不适用。 $\Theta$

asymptotics recurrence-relation

— 奥斯汀·布坎南
source

找到一个好的下限很容易，但是找到一个好的上限却很困难，但是粗略地讲似乎接近。

T (n) = a \cdot T (n / a) + g (n)

$T(n) = a\cdot T(n/a) + g(n)$

如果您仍在寻找答案，则应查看Graham，Knuth和Patashnik的“具体数学”。

— 卡夫（Kaveh），

假设是常数，我们不需要对任何假设，还是？

n_{0}

$n_0$

f

$f$

— 拉斐尔

参数可以是实例特定的。很高兴看到运行时如何依赖于。

n_{0}

$n_0$

n_{0}

$n_0$

— 奥斯汀·布坎南

我问了一个相关的问题，到目前为止，这种问题还没有提出任何一般性定理。

— 拉斐尔

一种可能的方法是类比微分方程。令。在此，是的一阶导数的离散模拟。我们得到以下关系：连续的模拟是微分方程或者，如果您更喜欢看成不同的写法：那是一个微分方程。 $T'(n) = T(n)-T(n-1)$ $T'(n)$ $T(n)$

T^{'} (n) = T (⌊ δ n ⌋) + g (n) .

$T'(n) = T(\lfloor \delta n \rfloor) + g(n).$

t^{'} (x) = t (δ x) + g (x),

$t'(x) = t(\delta x) + g(x),$

\frac{d}{d x} t (x) = t (δ x) + g (x) .

${d \over dx} t(x) = t(\delta x) + g(x).$

现在，您可以尝试求解连续函数微分方程，然后假设一个相似的函数将是您原始递归关系的解决方案，并尝试证明您的假设。至少，这是您可以遵循的一种通用方法。 $t(x)$

我已经忘记了我以前对微分方程的所有知识，所以我不知道该微分方程的解决方案，但是也许您可以通过回顾所有用于求解微分方程的技术来解决它。

— DW
source

唐纳德·纽曼（Donald J Newman）似乎经常使用这种技术，效果很好。

— Aryabhata

无需进一步寻找。解决该微分方程并不容易。在尝试的一些基本形式后，我不太相信它具有封闭形式的解决方案。

t (x)

$t(x)$

— 通知2014年