什么是GCD最有效的？

我知道Euclid算法是获取正整数列表的GCD（最大公约数）的最佳算法。但是实际上，您可以通过多种方式对该算法进行编码。（就我而言，我决定使用Java，但C / C ++可能是另一种选择）。

我需要在程序中使用最高效的代码。

在递归模式下，您可以编写：

static long gcd (long a, long b){
    a = Math.abs(a); b = Math.abs(b);
    return (b==0) ? a : gcd(b, a%b);
  }

在迭代模式下，它看起来像这样：

static long gcd (long a, long b) {
  long r, i;
  while(b!=0){
    r = a % b;
    a = b;
    b = r;
  }
  return a;
}

GCD还有二进制算法，可以这样简单地编码：

int gcd (int a, int b)
{
    while(b) b ^= a ^= b ^= a %= b;
    return a;
}

您的两种算法是等效的（至少对于正整数而言，命令式版本中的负整数会发生什么情况取决于%我不了解的Java语义）。在递归版本中，令和为第个递归调用的参数： b i i a i + 1 = b i b i + 1 = a i m o d b $a_i$$b_i$$i$

在命令式版本中，令和为变量的值，并在循环的第次迭代开始时。 b ' 我我一个' 我+ 1 = b ' 我 b ' 我+ 1 = 一个' 我中号ö d b ' $a'_i$$b'_i$ab$i$

注意到类似吗？您的命令式版本和递归版本正在计算完全相同的值。此外，当（分别为）时，它们都同时结束，因此它们执行相同数量的迭代。因此，从算法上讲，两者之间没有区别。任何差异都将取决于实现方式，高度依赖于编译器，其运行的硬件以及操作系统和同时运行的其他程序的可能性。一' 我 = $a_i=0$$a'_i=0$

递归版本仅进行尾递归调用。大多数用于命令式语言的编译器没有对它们进行优化，因此它们生成的代码可能会浪费一点时间和内存，从而在每次迭代时都构建一个堆栈框架。使用优化尾部调用的编译器（功能语言的编译器几乎总是这样做），生成的机器代码对于两者而言可能是完全相同的（假设您协调对的调用abs）。

对于较小的数字，二进制GCD算法就足够了。

GMP是一个维护良好且经过实际测试的库，在通过特殊的阈值后（Lehmer算法的推广），它将转换为特殊的一半GCD算法。Lehmer使用矩阵乘法来改进标准的Euclidian算法。根据文档，HGCD和GCD的渐近运行时间均为O(M(N)*log(N))，其中M(N)是两个N肢数相乘的时间。

有关其算法的完整详细信息，请参见此处。

据我所知，Java通常不支持尾递归优化，但是您可以为此测试Java实现。如果它不支持，则简单的for-loop应该更快，否则递归也应该一样快。另一方面，这些是位优化，请选择您认为更容易理解的代码。

我还要注意，最快的GCD算法不是Euclid算法，Lehmer算法更快。

首先，不要使用递归来替代紧密的循环。太慢了 不要依靠编译器对其进行优化。其次，在代码中，您在每次递归调用中都调用Math.abs（），这是没有用的。

在循环中，您可以轻松地避免使用临时变量，并且始终可以交换a和b。

int gcd(int a, int b){
    if( a<0 ) a = -a;
    if( b<0 ) b = -b;
    while( b!=0 ){
        a %= b;
        if( a==0 ) return b;
        b %= a;
    }
    return a;
}

使用a ^ = b ^ = a ^ = b交换会使源代码更短，但需要执行许多指令。它会比无聊的临时变量慢。

对于较小的数字，％是一个非常昂贵的运算，也许更简单的递归

GCD[a,b] := Which[ 
   a==b , Return[a],
   b > a, Return[ GCD[a, b-a]],
   a > b, Return[ GCD[b, a-b]]
];

更快？（对不起，Mathematica代码而不是C ++）

Euclid算法对于计算GCD最有效：

静态long gcd（long a，long b）
{
如果（b == 0）
返回
其他
返回gcd（，a％b）;
}

例：-

设A = 16，B = 10。
GCD（16，10）= GCD（10，16％10）= GCD（10，6）
GCD（10，6）= GCD（6，10％6）= GCD（6，4）
GCD（6，4）= GCD（4，6％4）= GCD（4，2）
GCD（4，2）= GCD（2，4％2）= GCD（2，0）


由于B = 0，所以GCD（2，0）将返回2。