如何将“ k-tape”图灵机的磁带映射到“ 1-tape”图灵机的单个磁带

我正在阅读Sipser，发现很难理解该过程是什么，所以如果给我一台带k磁带的图灵机，我只能吐出一根带子的等效图灵机。一个例子会很好。实际上，一个真正的示例显示了如何从具有磁带的TM 变为具有1个磁带的TM 。到目前为止，我一直找不到。我也不在寻找任何证据。 $k$

turing-machines simulation

— 用户名
source

您所说的“等效机器”是什么意思？输入是什么，输出是什么？（也许您是指一台带磁带的图灵机？）

k

$k$

— Yuval Filmus 2013年

是。一台带k磁带的车床。

— user678392

一个无耻地复制自己的答案：

除了我们拥有扩展的转换函数，其中是磁带数。因此，在每种状态下，转换函数都会读取每个磁带的内容，移至新状态，（也许）在每个磁带上写一些东西，然后移动每个磁头-就像常规TM一样，只是现在我们有更多东西要读，写并移动。 $Q\times\Gamma^{k}\rightarrow Q\times\Gamma^{k}\times\{L,R\}^{k}$ $k$

正如您的问题所暗示的那样，这样的机器可以通过单带 TM 进行模拟。更好的是，仅需二次减速即可完成（因此对于多项式封闭类，谈论单带机器就足够了）。

对此的证明有些复杂，并且可以通过简单的Web搜索轻松获得，因此，我仅将磁带的键映射草绘为单个磁带。 $k$

基本思想很简单；我们只需添加一些新符号并跟踪每个磁带并一个接一个地走。在计算的每个步骤中，我们只能访问有限数量的任何磁带，因此我们只需要存储有关每个磁带的大量信息。因此，对于每个我们添加一个新的符号到这将表明，其中所述头部（每个磁带）为在计算中的任何点。我们还会在引入分隔符以指示“虚拟”磁带的开始和结束。给定输入 $\gamma \in \Gamma$ $\underline{\gamma}$ $\Gamma$ $\#$ $\Gamma$ $\omega = \omega_{1}\ldots\omega_{n}$ （我们可以假设即使在多磁带机上，所有输入都在第一盘磁带上-证明为什么这样做是很好的练习）在多磁带机上，我们的单磁带机将具有输入

\underset{k sections, one per tape}{\underset{⏟}{# \underline{ω_{1}} \dots ω_{n} # \underline{⊔} # \underline{⊔} # \dots # \underline{⊔} #}} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots

$\underbrace{\#\underline{\omega_{1}}\ldots\omega_{n}\#\underline{\sqcup}\#\underline{\sqcup}\#\ldots\#\underline{\sqcup}\#}_{k \text{ sections, one per tape}}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$

然后，我们使用单卷带机的状态来编码多卷带机所处的状态以及磁头在看什么。单卷带机的过渡功能是多卷带过渡功能的多阶段仿真，其中我们可以适当地执行不同的磁带动作，依次将单卷磁带向上移动到每个部分。剩下的唯一皱纹是，当我们用完一个部分的空间时，所有东西都会移动（但是这样的子机是一个简单的练习）-我们永远不会减小每个部分的大小。 $k$

一个（希望）简单的例子：

说，我们有一个3胶带TM，其中输入字母只是，磁带字母是且输入是。机器的样子的初始磁带状态：的“ $\Sigma=\{0,1\}$ $\Gamma=\{0,1,\sqcup\}$ $\omega=10101$

\begin{array}{lc} Tape 1: & \underset{\land}{1} 0101 ⊔ ⊔ ⊔ \dots \\ Tape 2: & \underset{\land}{⊔} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots \\ Tape 3: & \underset{\land}{⊔} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots \end{array}

$\begin{array}{lc} \text{Tape 1:} & \underset{\wedge}{1}0101\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 2:} & \underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 3:} & \underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \end{array}$

\land

$\wedge$ ”表示每个磁带上的读/写头在哪里。

要构建组合的单磁带机，我们需要在磁带字母表中添加新的符号：

我们需要一个符号来表示模拟磁带的开始和结束
$\Gamma$

$\Gamma' =\{0,1,\sqcup,\underline{0},\underline{1},\underline{\sqcup},\#\}$

# \underset{\land}{\underline{1}} 0101 # \underline{⊔} # \underline{⊔} # ⊔ ⊔ ⊔ \dots

$\#\underset{\wedge}{\underline{1}}0101\#\underline{\sqcup}\#\underline{\sqcup}\#\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$

\land

$\wedge$ ）和3个模拟磁带的模拟磁头（带下划线的字符）。当然，磁带会像往常一样向右无限延伸。我还通过将磁带头移到第一根弦的第一个字符来作弊。严格来说，它应该从最左边的单元格开始，但这是微不足道的技术性。

$\#$

$1$ $1$ $0$ $1$

$1$

\begin{array}{lc} Tape 1: & 1 \underset{\land}{0} 101 ⊔ ⊔ ⊔ \dots \\ Tape 2: & 1 \underset{\land}{⊔} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots \\ Tape 3: & \underset{\land}{⊔} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots \end{array}

$\begin{array}{lc} \text{Tape 1:} & 1\underset{\wedge}{0}101\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 2:} & 1\underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 3:} & \underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \end{array}$

$0$

\begin{array}{lc} Tape 1: & 10 \underset{\land}{1} 01 ⊔ ⊔ ⊔ \dots \\ Tape 2: & 1 \underset{\land}{⊔} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots \\ Tape 3: & 1 \underset{\land}{⊔} ⊔ ⊔ ⊔ ⊔ \dots \end{array}

$\begin{array}{lc} \text{Tape 1:} & 10\underset{\wedge}{1}01\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 2:} & 1\underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \text{Tape 3:} & 1\underset{\wedge}{\sqcup}\sqcup\sqcup\sqcup\sqcup\ldots\\ \end{array}$

$\Gamma'$

# 1 \underset{\land}{\underline{0}} 101 # 1 \underline{⊔} # \underline{⊔} # ⊔ ⊔ ⊔ \dots

$\#1\underset{\wedge}{\underline{0}}101\#1\underline{\sqcup}\#\underline{\sqcup}\#\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$

第二步之后：

# 10 \underset{\land}{\underline{1}} 01 # 1 \underline{⊔} # 1 \underline{⊔} # ⊔ ⊔ ⊔ \dots

$\#10\underset{\wedge}{\underline{1}}01\#1\underline{\sqcup}\#1\underline{\sqcup}\#\sqcup\sqcup\sqcup\ldots$

当然，这是该过程的一个高级视图-我没有试图解释如何构造状态，或者每个模拟磁带如何变长（为此，您需要一个小的例程来检查是否遇到了然后将所有内容移到正确的一步，然后将其压缩为新的空白-即仅在需要时添加模拟磁带单元）。

— 卢克·马蒂森（Luke Mathieson）
source

或者，使用单独的“ 磁道 ”在同一空间中将相邻的磁带彼此相邻地写入。但是，这涉及引入新的字母。

— Hendrik 2013年1

@ user678392详细了解构造并将其全部写入此处至少需要几个小时。如果您什至不解释哪一部分甚至都不理解，为什么有人要代表您投入那么多的工作呢？如果有人这样做怎么办？您是否只是想说：“我听不懂。其他人会这么做。”

— David Richerby 2013年

@ user678392谢谢。而且，只是为了澄清一下，是您难于使用英语（例如，改写可能会有所帮助）还是您需要在解释中提供更多详细信息？

— David Richerby 2013年

@ user678392，我在磁带上添加了转换的第一步的高层视图和实际输出的示例。我避免了讨论如何构造新的状态集，因为这非常复杂，并且您将无法获得比Sipser或类似产品更好的解释-它本质上是巧妙的和数学的。

— 卢克·马蒂森

@RomaKarageorgievich在过去的五年中，似乎有许多更清晰的证据消失了（不要相信互联网：D）。我发现的最清晰的文件在这里（警告，.doc文件！）。如果您可以阅读马丁（《第四版》第244页）中的内容，那么马丁（Martin）的“语言和计算理论导论”中的证据就很好。Sipser的“计算理论导论”中的证明就足够了（第三版第177页）。

— 路加·马西森