具有扫描线算法的圆交集

不幸的是，我对扫描线算法的理解还不是很强。关于该主题的所有论文和教科书均已阅读，但理解距离还很远。为了更清楚一点，我尝试解决尽可能多的练习。但是，真正有趣和重要的任务仍然对我构成挑战。

我在万能杰夫·埃里克森（Jeff Erickson）的《线段相交》的讲义中发现了以下练习。

练习2。描述并分析扫掠线算法，以在给定平面中的圆的情况下确定在时间内是否有两个相交。每个圆都由其中心和半径指定，因此输入由三个数组和。注意正确实现低级原语。$n$$O(n \log n)$$X[1.. n], Y [1.. n]$$R[1.. n]$

让我们尝试使复杂的事情变得容易。我们对圆的交点了解多少？用线的交点可以找到什么类似物。如果两条线相邻，两条线可能会相交，两条圆应该具有哪个属性才能相交？令为圆心，和圆心之间的距离。考虑几种情况：$d$$r_{0}$$r_{1}$

• 情况1：如果，则没有解，圆是分开的。$d > r_{0} + r_{1}$

• 情况2：如果那么就没有解决方案，因为一个圆包含在另一个圆内。$d < |r_{0} - r_{1}|$

• 情况3：如果且则圆是重合的，并且解的数量是无限的。$d = 0$$r_{0} = r_{1}$

因此，看起来交叉路口的条件已经准备就绪，当然可能是错误的条件。如果是这样，请更正。

算法。现在我们需要找到两个相交的圆之间的共同点。在模拟到直线相交的情况下，我们需要在事件队列中具有插入条件和删除条件。假设事件点是垂直扫描线接触的第一个点和最后一个点的x坐标。在第一个点上，我们将圆插入状态， 并检查与最近的圆的交点（上面提到了3种检查情况），在最后一点上，我们从status中删除了圆。

对于扫掠线算法来说似乎已经足够。如果有什么问题，或者可能有什么事情应该做不同的事情，请随时与我们分享您的想法。

附录：

我在垂直扫掠线第一次接触该圆时插入一个圆，并在扫掠线最后接触该状态时从状态中删除一个圆。交叉点的检查应在最近的前一个圆上进行。如果我们在状态中添加了一个圆圈，并且之前已经添加了另一个圆圈，并且该圆圈仍然存在，那么先前的圆圈不会“闭合”，因此可能存在相交。

您绝对是在正确的轨道上。最大的问题是：当您插入一个圆时，您还要检查哪些其他圆？您如何执行此检查？

在线段相交的情况下，在任何给定x坐标处的线段都是完全有序的。（您可以从最低到最高Y坐标列出它们）。因此，您可以将线段保留在二叉搜索树中，添加新线段时，只需找出它在二叉搜索树中的位置，并检查其相邻点是否存在相交事件。

在圈子的情况下，它不会立即清除要检查的圈子。如果您的答案是“全部”，则您的算法需要做一些工作。

您能找到一种表示圆的方法，使它们像线段一样完全有序吗？

尝试将圆圈表示为两个半圆。每个插入事件实际上是两个事件：插入上半部分和插入下半部分。

我可以想到这种方法类似于在O（（n + k）logn）时间中运行的Bentley Ottmann扫描。

我可以减少圆相交到线段相交的问题。我将为每个圆考虑与Y轴平行的垂直直径。该算法应使用一条水平线，从底部到顶部扫掠平面。

现在，每个圆都有上端点，下端点。同样，我们需要修改“相交”谓词，以使当且仅当扫掠线在一点上切入两个圆时，两个线段才相交。

由于可以在O（（n + k）logn）的时间内解决直线相交的问题，因此对于圆形相交也遵循相同的界限。

我坚信这是行得通的，但是如果你们指出在任何情况下通常都无法解决的情况，请告诉我。