从

我们知道Immerman–Szelepcsényi定理由性位于，并且由于是因此，性可以简化为的一个对数空间。但是，是否存在中没有通过图灵机配置图的直接/组合简化？ $st\text{-}non\text{-}connectivity$ $\mathsf{NL}$ $st\text{-}connectivity$ $\mathsf{NL\text{-}hard}$ $st\text{-}non\text{-}connectivity$ $st\text{-}connectivity$ $\mathsf{NL}$

$\mathsf{stConnectivity}$ （又称）： $stPATH$

给定有向图以及顶点和， $G$ $s$ $t$

是否存在从顶点 $s$ 到顶点的定向路径 $t$ ？

说明：

您可以假定图是由其邻接矩阵给出的（但是，这并不是必需的，因为图的标准表示形式可以在日志空间之间相互转换。）

是可能的解压的证明的岬并将其移动到证明，以便证明不使用它该定理为引理。然而，这本质上仍然是相同的构造。我要寻找的不是这个，我要从概念上直接减少。让我比照案。我们可以减少各种 $\mathsf{NL\text{-}hard}$ $st\text{-}connectivity$ $\mathsf{NP}$ 通过使用一个事实，即它们是在问题彼此因此减少和降低到另一问题。并且我们可以解压缩并组合这两种减少量以获得直接减少量。但是，通常有可能在概念上进行更简单的减少，而无需经过这个中间步骤（您可以删除提及的内容，但从概念上讲仍然存在）。例如，减少或 $\mathsf{NP\text{-}complete}$ $\mathsf{NP}$ $SAT$ $SAT$ $HamPath$ 或到我们不说是，并因此减少了因为是。我们可以给出一个简单的直观公式，只要图形具有哈密顿路径即可。另一个例子，我们减少了其他问题 $VertexCover$ $3\text{-}Coloring$ $SAT$ $HamPath$ $\mathsf{NP}$ $SA$ $SAT$ $\mathsf{NP\text{-}hard}$ 向不依靠的岬例如， $\mathsf{NL}$ $st\text{-}Connectivity$ $\mathsf{NL\text{-}complete}$ $st\text{-}Connectivity$ $Cycle$ ，等等，它们涉及在输入图形修改（并且不指的是解决这些问题的任何图灵机）。 $StronglyConnected$

我仍然看不到任何原因无法做到这一点。我正在寻找这种减少。

这可能是因为这是不可能的，任何减少将在概念上经过的情况下内斯结果。但是我不知道为什么会这样，为什么情况会与情况不同。显然，要对我的问题给出否定的答案，我们将需要更加正式地确定何时在概念上进行证明 $\mathsf{NL\text{-}hard}$ $\mathsf{NP}$ 包括另一个证明（这是AFAIK无法以令人满意的方式解决的证明理论问题）。但是请注意，对于肯定的答案，不需要这样的正式定义，我希望情况确实如此。（当我找到更多的空闲时间时，我将考虑如何以一种忠实的方式来规范我的要求。本质上，即使我们不知道问题已经解决了，我也希望这种减少是可行的。） $\mathsf{NL}$

使用Immerman-Szelepcsényi的证明定理是好的，使用的岬和配置图表机是我希望避免的。 $\mathsf{NL\text{-}complete}$ $stPATH$ $\mathsf{NL}$

complexity-theory reductions space-complexity

— 卡韦
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@Raphael，我喜欢使用其他字体作为数学概念（如复杂度类）的名称，这是文献中的常见做法。请不要删除它们。

— 卡夫

对不起，但这看起来太可怕了。如果必须，请使用其他字体，但请保持一致：您将其mathsf与标准数学字体混合使用，甚至在一个单词中使用不同的字体！

— 拉斐尔

@Raphael，我以一致的方式使用它们。Mathsf用于区分复杂度类。我会考虑将“完整的”和“硬性的”外部移到文本部分（问题在于它会使它们使用不同的字体键入。）

— Kaveh 2012年

“一致”不等于“印刷上令人愉悦”。（此外，这里并不需要真正的区分，特别是不需要复杂性类和问题之间的区分（这更让人感到痛苦，在原始数学字体中看起来很糟糕））。

— 拉斐尔

@Raphael，当然，我没有这么说。您反对我使用它们的方式的“不一致”，我只是想指出事实并非如此。我的风格是将数学概念的名称（如

与其余的数学/文本区分开来，我想以一种一致的方式来实现。无论如何，我会考虑如何在保留样式的同时使它在印刷上更好。

P

$\mathsf{P}$

— 卡夫

如果比较麻烦，可以将Immerman-Szelepcsényi定理的证明转换为所需的约简。绝对不需要使用st-连通性的NL完全性。

给定一个实例，我们构造了一个新的图。的“主顶点” 记录以下信息：目前距离从，距离顶点最多人数，距离顶点的数量 $G=(V,E),s,t$ $G'=(V',E'),s',t'$ $V'$ $d$ $s$ $d-1$ $d-1$ 到目前为止，我们正在猜测当前顶点是否最多具有距离，目前为止最多计数到的距离的顶点数，我们正在确定当前顶点是否最多具有距离。的小顶点处理，我们猜测至多一个长度的路径的部分，这是我们猜测至多为距离的顶点。涉及显示顶点边可从到达 $d-1$ $d$ $d$ $d-1$ $d-1$ $t$ $s$ 被丢弃。对于当前距离下要测试的每个顶点，如果考虑了所有较小距离的顶点，则仅前进到下一个顶点。从距离到距离，我们复制必要的信息。起始顶点解释了是距离为零的唯一顶点的事实。终止顶点由所有顶点指向，这些顶点表示该过程已经完成了直至（包括）距离的事实，其中。 $d$ $d+1$ $s'$ $s$ $t'$ $n-1$ $n=|V|$

如您所见，完全正确地编写所有内容会很麻烦，但是绝对有可能。没有公开使用NL完整性，因为我们从不使用任何NL机器的配置图。不需要，因为我们有比配置图更好的东西-输入实例本身。

— Yuval Filmus
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