展示如何手动执行FFT

假设您有两个多项式：和。$3 + x$$2x^2 + 2$

我试图了解FFT如何帮助我们将这两个多项式相乘。但是，我找不到任何可行的示例。有人可以告诉我FFT算法如何将这两个多项式相乘。（注意：这些多项式没有什么特别的，但我想简化它以使其易于理解。）

我已经看过伪代码中的算法，但是它们似乎都存在问题（不要指定输入应该是什么，未定义的变量）。令人惊讶的是，我找不到任何人实际经过（手动）使用FFT相乘多项式的示例。

假设我们使用单位的第四根，它对应于用代替。在FFT算法中，我们还使用时间抽取，而不是频率抽取。（我们还无缝地应用了位反转操作。）$1,i,-1,-i$$x$

为了计算第一个多项式的变换，我们首先编写系数： 偶数系数的傅立叶变换为，奇数系数的傅立叶变换为。（此变换只是。）因此，第一个多项式的变换为 这是使用，。（根据旋转因子计算）。

$$3,1,0,0.$$ $3,0$$3,3$$1,0$$1,1$$a,b \mapsto a+b,a-b$ $$4,3+i,2,3-i.$$ $X_{0,2} = E_0 \pm O_0$$X_{1,3} = E_1 \mp i O_1$

让我们对第二个多项式做同样的事情。系数为 偶数系数转换为，奇数系数转换为。因此，第二多项式的变换为

$$2,0,2,0.$$ $2,2$$4,0$$0,0$$0,0$ $$4,0,4,0.$$

我们获得由两个傅里叶变换相乘的傅里叶变换的乘积多项式的点态： 它仍然以计算傅立叶逆变换。偶数系数逆变换为，奇数系数逆变换为。（逆变换为）因此，乘积多项式的变换为 这是使用，。我们已经获得了所需的答案

$$16, 0, 8, 0.$$ $16,8$$12,4$$0,0$$0,0$$x,y \mapsto (x+y)/2,(x-y)/2$ $$6,2,6,2.$$ $X_{0,2} = (E_0 \pm O_0)/2$$X_{1,3} = (E_1 \mp i O_1)/2$ $$(3 + x)(2 + 2x^2) = 6+2x+6x^2+2x^3.$$

定义多项式，其中deg(A) = q和deg(B) = p。的deg(C) = q + p。

在这种情况下，deg(C) = 1 + 2 = 3。

$$A = 3 + x \\ B = 2x^2 + 2 \\ C = A*B = ?$$

通过系数的蛮力乘法，我们可以轻松地在时间内找到C。通过应用FFT（和逆FFT），我们可以在时间内实现这一目标。明确地：$O(n^2)$$O(n\log(n))$

1. 将A和B的系数表示形式转换为其值表示形式。这个过程称为评估。为此执行分而治之（D＆C）将花费时间。$O(n\log(n))$
2. 将多项式在其值表示中逐项相乘。这将返回C = A * B的值表示形式。这需要时间。$O(n)$
3. 使用逆FFT反转C以获得系数表示形式的C。此过程称为插值，它也需要时间。$O(n\log(n))$

继续，我们将每个多项式表示为一个向量，其值就是其系数。我们将矢量填充0到最小的2的幂，。因此。选择2的幂可以为我们递归地应用分而治之算法。$n = 2^k, n \geq deg(C)$$n = 4$

$$\begin{align} &A = 3+x+0x^2+0x^3 \Rightarrow &\vec{a} = [3, 1, 0, 0]\\ &B = 2+0x+2x^+0x^3 \Rightarrow & \vec{b} = [2, 0, 2, 0] \end{align}$$

令分别为A和B的值表示。注意，FFT（快速傅立叶变换）是一种线性变换（线性图），并且可以表示为矩阵，。从而$A', B'$$M$

$$A' = M \overrightarrow{a} \\ B' = M \overrightarrow{b}$$

我们定义，其中是复数根复数根。注意，在此示例中。还要注意，第行和第列中的条目是。在此处查看有关DFT矩阵的更多信息$M = M_n(\omega)$$\omega$$n^{th}$n = 4$j^{th}$$k^{th}$$\omega_n^{jk}$

$$M_4(w) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1\\ 1 & \omega^1 & \omega^2 & ... & \omega^{n-1}\\ 1 & \omega^2 & \omega^{4} & ... & ... \\ ... & ... & ... & \omega^{jk} & ...\\ 1 & \omega^{n-1} & \omega^{2(n-1)} & ... & \omega^{(n-1)(n-1)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix}$$

给定的单位根，我们得到有序的集合相等性：$\omega_4 = 4^{th}$

$$\{\omega^{0},\omega^1, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \omega^5, ... \} = \{1, i, -1, -i, 1, i, ...\}$$

这可以通过在逆时针方向上遍历单位圆的根部来可视化。

另外，请注意mod n性质，即和$\omega^6 = \omega^{6 \mod n} = \omega^{2} = -1$$-i = \omega^{3} = \omega^{3+n}$

为了完成步骤1（评估），我们通过执行以下操作找到$A', B'$

$$A' = M * \vec{a} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + 1 \\ 3 + 1 \omega \\ 3 + \omega^2 \\ 3 + \omega^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{bmatrix} \\ B' = M * \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 2 \\ 2 + 2 \omega^2 \\ 2 + 2\omega^4 \\ 2 + 2\omega^6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}$$

可以使用D＆C算法来完成此步骤（超出此答案的范围）。

将分量相乘（步骤2）$A' * B'$

$$A' * B' = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ 0\\ 8 \\ 0 \end{bmatrix} = C'\\ $$

最后，最后一步是将C'表示为系数。注意

$$C' = M \vec{c} \\ \Rightarrow M^{-1}C' = M^{-1} M \vec{c} \\ \Rightarrow \vec{c} = M^{-1}C'$$

注意 ¹和。$M_n^{-1} = \frac{1}{n} M_n(\omega^{-1})$$\omega^j = -\omega^{n/2 + j}$

$$M_n^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega^{-1} & \omega^{-2} & \omega^{-3}\\ 1 &\omega^{-2} & \omega^{-4} & \omega^{-6}\\ 1 &\omega^{-3} & \omega^{-6} & \omega^{-9} \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix}$$

$\omega^{-j}$可以可视化为沿顺时针方向遍历单位圆弧的根部。

$$\{\omega^{0},\omega^{-1}, \omega^{-2}, \omega^{-3}, \omega^{-4}, \omega^{-5}, ... \} = \{1, -i, -1, i, 1, -i, ...\}$$

同样，在给定统一的根的情况下，确实存在等式。（你明白为什么吗？）$n^{th}$$\omega^{-j} = \omega^{n-j}$

然后，

$$\vec{c} = M^{-1}C' = \frac{1}{n} M_n(w^{-1}) = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 16 \\ 0\\ 8 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (16 + 8) /4 \\ (16 - 8) /4 \\ (16 + 8) /4 \\ (16 - 8) /4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2\\ 6 \\ 2 \end{bmatrix}$$

因此，我们得到多项式 ¹：反演公式第73页，Dasgupta等人的算法。等 （C）2006

$$C = A * B = 6 + 2x + 6x^2 + 2x^3$$