嵌入欧氏平面（2D）的图形的最短非相交路径

您将使用哪种算法来找到图的最短路径，该最短路径被嵌入到欧几里德平面中，因此该路径不应包含任何自相交（在嵌入中）？

例如，在下面的图表中，你想从去。通常，像Dijkstra算法那样的算法会产生如下序列：$(0,0) \rightarrow (-3,2)$

$$\left[ (0,0) \stackrel {3}{\rightarrow} (0,3) \stackrel{\sqrt{2}}{\rightarrow} (1,2) \stackrel{4}{\rightarrow} (-3,2) \right] = 7+\sqrt{2}.$$

完整图：

最短的路径：

最短的非相交路径：

但是，此路径在欧几里得平面上相交，因此我需要一种算法，该算法可以为我提供最短的非相交序列，在这种情况下：

$$\left[(0,0) \stackrel{3}{\rightarrow} (0,3) \stackrel{3}{\rightarrow} (0,6) \stackrel{5}{\rightarrow} (-3,2) \right] = 11.$$

该路径比最短路径长，但它是最短的非相交路径。

是否有（有效的）算法可以做到这一点？

TikZ来源

• 全图。
• 最短路径。
• 最短的非相交路径。

甚至决定是否存在任何路径都是NP完全的。

显然可以验证任何给定路径在给定图中都是有效路径。因此，有界长度问题在NP中，其子集也就是任意路径问题。

现在，为了证明任意路径问题（以及有界长度问题）的NP硬度，让我们将SAT-CNF简化为该问题：

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全局结构是由线段组成的网格，并与子句段的列相连。逻辑公式是令人满意的，前提是存在通过该图的不相交的路径。

不可能跨越两条路径，但是有必要跨越两条逻辑线。而是严格给出路径流：一个连线点由两个节点给出。路径会强制减少路径穿过的连线点的顺序。逻辑由选择哪个节点表示。只要通过所有连线点，就可以选择任何路径。

在此图中，路径由红色曲线表示，逻辑流程由黑色线表示：

现在让我们构建每个组件。

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布线使用三个瓦片：交叉点，分支点和垂直电线。让我们从最困难的一个开始：

交叉的基本思想是为每对线点准备一条路径，并充分弯曲可能的路径，以使除编码相同逻辑的线对（兼容路径）以外的所有线对彼此交叉。当然，我们不能只说两个平行边相交，而是可以引入额外的2阶节点来使两条路径相交。

假设路径从北到西，从南到东，我们可以：收集每条从北到北的路径，以及从东到北的兼容路径（某些不兼容的路径会相互交叉）；通过反转线对的顺序使每个线对彼此交叉；将路径分布到其南端和西端。最好用图表来解释。在此，每对节点代表一个连线点。具有相同颜色代码（带有相同逻辑）的路径不会相交，而具有不同颜色代码的路径会相交：

分支点和垂直导线的工作原理相同，但是相关的路径较少：

$\neg A \vee \neg B$

通过以不同方式分支读取导线，可以概括这种归纳以编码AND和OR门的任意树。尤其是，SAT-CNF和SAT-DNF都可以以上述方式减少到非相交路径问题。

这个问题似乎可以追溯到1944年的Turan。这似乎是对理论和算法的很好的综述，图的交叉数： Mutzel的理论与计算。维基百科在图的交叉数量下有一些信息