8拼图的可到达状态空间

我刚刚开始研究人工智能，并且想知道为什么8难题的可到达状态空间为。我看到磁贴的排列数是但是，尚不清楚为什么在任何给定状态下都无法达到拼图的一半可能状态。谁能详细说明？$9!/2$$9!$

供参考的8拼图图片，左侧为随机配置，右侧为目标状态：

这是此演示文稿的扩展。

因为状态图由两个大小相等的断开连接的组件组成。不失一般性，我们可以假设目标状态为。$1\;2\;3\;...\;15\;\Box$

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

给定状态，置换反演是放置在之后但的图块；当（a）在的同一行中但在其右侧或（b）在较低的行中时，会发生这种情况：$S$$T_i$$T_j$$i < j$$T_i$$T_j$$T_i$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

我们定义瓷砖的数量，之后出现。例如，在状态：$N_j$$T_i$$i < j$$T_j$

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

我们知道在之后应该有一个图块（），所以 ; 在之后，应该有四个图块（），因此。$T_{7}$$T_6$$N_7=1$$T_{10}$$T_7, T_8, T_9, T_6$$N_{10}=4$

令为所有与空图块的行号之和$N$$N_i$$T_{\Box}$

在上面的示例中，我们有：$N = N_7 + N_8 + N_9 + N_{10} + row(T_{\Box}) = 1 + 1 +1 + 4 + 4=11$

我们可以注意到，水平 移动空白图块时，不变。如果我们垂直移动空瓷砖，则变化量为偶数。$N$ $N$

例如：

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 3 \mbox{ (2 is placed after 3,4,5)} - 1 \mbox{ (empty tile is moved up)} = N + 2$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 1 \mbox{ (2 is placed after 3)} - 2 \mbox{ (4,5 are placed after 3)} + 1 \mbox{ (empty tile is moved down)} = N$

因此在空图块的任何合法移动下都是不变的。$N \bmod 2$

我们可以得出结论，状态空间分为两个不半部分，一个为，另一个为。$N \bmod = 0$$N \mod 2 = 1$

例如，以下两个状态未连接：

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5