断头台削减与一般削减

切割问题是将某个大物体切割成几个小物体的问题。例如，假设你有一个工厂，与大的片材宽度的原始玻璃，作品和长度。有几个买家，每个买家都想要无限数量的小玻璃板。买方想要长为且宽度为纸张。您的目标是从大张纸上切下小张纸，以使总使用量最大化，浪费最小化（还有其他类型的切割和包装问题）。$W$$L$$i$$l_i$$w_i$

切割问题的一个普遍限制是，切割必须是断头台切割，即每个现有的矩形只能切割成两个较小的矩形；显然，具有断头台切割的最大使用面积可能小于没有限制的最大使用面积。

我的问题是：最佳断头台切割与最佳普通切割之间的比率是否有上限和下限？

相关工作：Song等。（2009年）描述了一种使用限制型断头台切刀的算法- 两次断头台切刀。他们使用几何约束证明，最大两次断头台切工与最大断头台切工之间的比率受。我正在寻找关于最大断头台切割量与最大常规切割量之间的比率的可比结果。$\frac{6}{7}$

虽然这是不紧，我可以提供的上限和下限和3 / 4上闸刀切割和一般切口之间的最坏情况的比例。$1/4$$3/4$

让我们从上限开始，并假设我们得到了一块边长为的方形玻璃。此外，我们恰好有一位买家对宽度为1 - ε且长度为1 + ε的矩形玻璃板感兴趣。使用常规切割，最佳解决方案如下图所示，其中四个所需的矩形围绕中间的边长ε的一个小正方形放置。$2$$1-\varepsilon$$1+\varepsilon$$\varepsilon$

很容易看出，这种切割方式不能通过断头台切割来实现。实际上，使用断头台切割的任何切割模式最多可以将3个所需的矩形放入原始正方形中。其结果是，闸刀切割和一般切口之间最坏比至少为。$3/4$

接下来，我们看一下下界。令和L为原始玻璃板的边长。不失一般性，我们可以假设存在一个买方我这样W¯¯ 我 ≤ W¯¯和升我 ≤ 大号。否则，无论我们使用断头台切工还是普通切工，原始工作表都将无法使用。但是，使用断头台切割，我们总是可以通过简单地对齐买方i所需的矩形来切割出至少四分之一的原始薄片，如下图所示。$W$$L$$i$$w_i \leq W$$l_i \leq L$$i$

$i$$1/4$

我知道下限很弱，可能需要做更多的工作才能改善。但这是一个开始。