给定一个正交多边形（一个边与轴平行的多边形），我想找到最小的一组内部不相交的正方形，其并集等于该多边形。

我发现了一些对稍有不同的问题的引用，例如：

• 用正方形覆盖正交多边形-与我的问题类似，但是允许覆盖正方形重叠。这个问题具有多项式解（Aupperle，Conn，Keil和O'Rourke，1988； Bar-Yehuda和Ben-Hanoch，1996）。
• 将正交多边形平铺/分解/分割为矩形。这个问题具有多项式解（Keil，2000；Eppstein，2009）。
• 用矩形覆盖一个正交多边形-这个问题被称为是NP完全的（Culberson和Reckhow，1988）。

我找了最小的算法平铺与广场。

$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

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$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

一些基本的小工具

$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

4X3小工具

这个小工具有两个有效的最小平方分区状态：

               

^{左一个4X3小工具。中右：两个可能的最小二乘状态。}

5X4小工具

这个小工具与4X3小工具完全一样，只是尺寸更大。

               

^{左一个5X4小工具。中右：两个可能的最小二乘状态。}

端点小工具

$T$$F$

^{左：端点小工具的线框。中心：真值端点。右：假值端点。}

i-wire小工具

一个I-线的小工具是短期的暗示线。

规则：

• $2$$2$
• $3$

例：

^$7$$2$

使用方法如下：

       

^{图8,9，左：跨两个端点的线框i-wire。右：联盟。}

现在，如果一个端点处于正确的状态，它将迫使另一个端点处于推入位置。例：

       

^{左：方形分区图；左开关按下，将所有方块“推”到i-wire上，最后按下另一个开关（端点）。右：方形分区图；左侧端点已满，将i-wire向下推动所有正方形，并迫使左侧端点 “向上”。}

$A \implies \neg B$$A \implies B$

但是，这使情况不受限制：

如果我们将两条i-wire组合在一起，则可以得到双向含义，本质上是布尔（不等式）相等：

       

因此，两条i-wire可以具有完全相等的关系，就像一条电路一样-实际上，它是一条电路。我们将使用这些对来构建可用的导线。

$\frac{l-1}{2}+2$

可以根据需要确定i-wire的方向。

线

一条线由一对i 线组成，它们在每个端点处连接到相同的门。

• 在I-线是红色和绿色。
• $3$
• 每个栅极引脚将具有绿色和红色触点。电线必须正确连接。
• 不变规则：将一根 i-wire沿另一根 i-wire的相反方向推动，每个浇口都假定并确定了这一点（除非另有说明）。
• 由于每条导线都包含双向含义，因此像电路中的导线一样，它在栅极之间传递值。
• 每条线的两端都必须连接到门。。否则，可能会破坏我描述的某些门的假设以及上面的不变规则。但是，在导线两端具有端点的 栅极是安全的-您可以将散线连接到这些端点，而不必担心会损坏栅极。
• 电线必须为奇长，包括与之相连的任何电路的引线；但是，我将在下面描述一个奇数跳闸门，该跳闸门可使偶数长度的导线变为奇数长度。

图片：

^{上图：一根电线。}

       

^{左，右：有两种可能的最小平方分区状态一的线。请注意，如果电线只有此长度，则将无法向右或向左移动，并且必须将一个正方形分成较小的部分。}

电线可以根据需要定向。

弯闸：弯曲导线

       

^{左：线框视图。右：联合视图。}

注意4X3-gadget的使用。用于将红色导线固定为奇数长度。

以下是折弯的两种可能的最小二乘状态：

       

^{左和右：弯曲线的两个可能的最小二乘方分区状态。}

门可以根据需要定向。显然，此门可以镜像为另一个方向。

倾斜电线

很容易将电线移过来。线框图：

命名值门

甲命名值门基本上是一个端点与一个金属丝接触的栅极：

奇跳门：奇数跳线

有时仅使用奇长线是不方便的。例如：

如您所见，一点点扩展有点烦人。这是使用4X3门的相应解决方案：

因此，将其变成门，我们得到奇跳门（在线框中）：

门可以根据需要定向。

扭闸：扭线

有时，您会在错误的一面看到红色和黑色的i线，以用于门。在这种情况下，提供了一个扭曲门，将红色和黑色的i线扭曲到相对的两侧。

线框图：

说服自己，它的工作原理：

       

^$A$

门可以根据需要定向。

分割门：分割线

分割线，线框：

说服自己，它的工作原理：

^$A$

^$A$

注意：每根进出分离器的电线必须绝对连接到某处的端点，以保持不变。或者，您可以将端点添加到拆分器的每对引线中。

门可以根据需要定向。

非门

非门接一条线并输出一条具有相反含义的线。它基本上是一个扭曲门，只是它重新标记了电线的颜色。在没有门看起来像这样：

并查看两种可能的状态：

       

门可以根据需要定向。

子句门

对于子句门，我们首先介绍子句小工具：

^$3$

这是门的样子：

$3$

说明：

2. 从子句小工具开始，然后遵循箭头。
3. 非箭头线表示它是电路的一部分，但不会被门强制进入某种状态。
4. 子句小工具的状态会强制将其中一个端点的值设置为true。

$3\text{-CNF}$

门可以根据需要定向。

减少

$\Phi(\mathbf x)$$\text{Planar-}3\text{-SAT}$

$$\Phi\left(\mathbf x\right)={\huge\wedge}_i^n C_i,\\ C=\left\{(x_j \vee x_k \vee x_l)\right\}$$

视觉辅助工具（原始资料：Terrain Guarding是NP-Hard（PDF），以tikz复制）：

然后：

1. $x_i\in\mathbf x$$x_i$$\neg x_i$
2. 使用非门将闸门彼此连接，以使它们在逻辑上抵消对方的值。
3. 将变量的门的多边形放置在平面嵌入中的位置。
4. 对于每个子句，将子句门放置在平面嵌入中该子句的位置。
5. 使用上述门，将所有变量连接到其子句。
6. 对所有门的多边形（整个电路）的结果并集运行最小二乘方分配算法。
7. 如果该算法返回所有门的最小平方分区状态大小的总和（减去共享角），则可以满足要求。如果不能满足要求，它将迫使受约束的小工具分裂成较小的正方形，从而增加了划分电路所需的正方形数量。

为什么有效

• 每个小工具都有最小的正方形分区状态大小；也就是说，该小工具的最小平方分区为一定大小。
• 某些小工具具有此大小的多个状态。这些状态中的每一个都是有效的最小平方分区。
• 当小工具仅在角落组合时，小工具的最小平方划分状态的和仍为* 它们并集的最小平方划分状态；您可以直观地看到这一点：在角落连接不会给正方形提供足够的空间来扩展/连接来自另一个小工具的正方形。
• 虽然在拐角处组合小工具不会减小总的最小平方分区大小，但确实会相互关联并约束小工具。
• 使用上面显示的门，您可以约束足够的状态，因此，如果逻辑公式无法满足要求，则一个或多个小组件将不得不分成更小的正方形，并增加最小正方形分区的大小。

图源

• squaretilings1.tex（writelatex）
• squaretilings2.tex （writelatex）
• Clausegate.tex（writelatex）

您也可以删除imgur网址的后缀“ s”，“ m”，“ l”来查看较大的图像。例如，通过转到 http://i.stack.imgur.com/6CKlG.jpg，您可以看到一个更大的图像：http : //i.stack.imgur.com/6CKlGs.jpg。请注意之前缺少的“ s” .jpg。

$N$$O(N^{3/2})$

“用正方形覆盖正交多边形。” LJ Aupperle和HE Con​​n和JM Keil和Joseph O'Rourke。 程序 第26届阿勒顿会议。公社 控制计算。，第97-106页，1988年。（下载PDF扫描的链接）

但是，生成的覆盖可能包含重叠的正方形。您正在寻找的瓷砖不允许正方形重叠，因此您遇到的问题并不完全相同。