MIN-2-XOR-SAT和MAX-2-XOR-SAT：它们是NP硬的吗？

和\ text {MAX-2-XOR-SAT}的复杂性是什么？他们在P吗？他们是NP硬手吗？$\text{MIN-2-XOR-SAT}$$\text{MAX-2-XOR-SAT}$

为了更精确地将其形式化，让

其中$\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_m)$并且每个子句$C_i$的形式为$(x_i \oplus x_j)$或$(x_i \oplus \neg x_j)$。

该$\text{2-XOR-SAT}$问题是要找到一个分配$\mathbf{x}$是满足$\Phi$。这个问题在$P$，因为它对应于线性方程组mod $2$。

该$\text{MAX-2-XOR-SAT}$问题是要找到一个分配$\mathbf{x}$，最大限度地提高被满足子句的数目。该$\text{MIN-2-XOR-SAT}$问题是要找到一个分配$\mathbf{x}$，最大限度地减少被满足子句的数目。这些问题的复杂性是什么？

受到MIN或MAX-True-2-XOR-SAT NP-hard的启发吗？

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确定是否单调-2- XOR-SAT（所有条款是种的问题）实例是可满足可以降低到确定的曲线图是二分的问题，请参阅此。$({x_i}\oplus x_j)$

为此，我们为该公式的每个文字创建一个带有节点的图，如果每个文字都在同一子句中（边为子句），则我们将它们彼此连接起来。$G$

例如：

如果我们有一个无法满足的公式，即$({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_3) \wedge({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_1}\oplus x_4)$

我们有一个像这样的图：

那不是二分的

有三个可满足的子句，因此我们只需要消除一个优势

现在，我们可以减少确定的问题，如果我们能够最大偶子与发现顶点确定的问题，如果我们能够满足单调-MAX-2XOR-SAT公式中的条款，请参阅本。而且最大二分图问题等于最大割$k$$k$

要进行简化，我们只需为每个顶点创建一个新的文字，并为连接两个文字的每个边创建一个子句

例如：

我们有这张图，

我们创建以下公式$({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_4) \wedge({x_2}\oplus x_4) \wedge ({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_4}\oplus x_5) \wedge ({x_3}\oplus x_5)$

因此，如果我们找到一个满足子句的赋值，这将意味着存在一个至少有边的二部图。$k$$k$

其中每个子句只给出，创建顶点为每个字面，如果它们之间存在一个XOR关系创建两个顶点之间的边。为了使语句为真，它应满足。现在，我们可以采用顶点着色问题（没有将通过边连接的两个顶点分配相同的颜色，仅当我们要满足方程式时，才有2种颜色的附加约束）。如果在图形中为相应的顶点分配了不同的颜色，则子句为真。$(x_i\oplus x_j)$$x_i$$x_i\oplus x_j$$x_i\neq x_j$$x_i\oplus x_j$

如果可以使用2种颜色为图形的所有顶点着色，并且没有一个具有相同边共享的两个顶点都分配相同的颜色，则该方程式是可满足的。

但是图是2色的，前提是它是二部图。确定图是否为二部图可以在多项式时间内完成。因此问题就出在P中，因为如果我们可以在多项式时间内确定该图是二部图，那么它是可解的，否则它是不可解的。