线分隔两组点

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是否有办法确定两条点是否可以用一条线分开？

我们有两套分的和是否有分开的线路和，使得所有的点，只有上线的一侧，所有的点，只有在另一边。 $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$ $B$

我想到的最幼稚的算法是为和构建凸多边形，并测试它们的交集。看起来时间像构造凸多边形一样，其时间复杂度应为。实际上，我不希望时间复杂度有任何改善，我不确定它是否可以改善。但是，至少应该有一种更漂亮的方法来确定是否有这样一条线。 $A$ $B$ $O(n\log h)$

algorithms machine-learning computational-geometry

— com
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uli和Dave Clarke都正确地观察到这是一个线性规划问题，即使在更高的维度上（这两个点集可以被超平面分开吗？），因此可以在多项式时间内解决。但是因为您的点位于平面上，所以您的问题实际上可以在时间内解决，其中是点的总数。 $O(n)$ $n$

最简单的解决方案可能是Seidel的随机算法。随机均匀地选择一个输入点，然后递归计算除以外的所有点的分隔线。 $p$ $\ell$ $p$

如果不存在这样的线，则原始点是不可分离的。
如果在的正确一侧，则分离原始点。 $p$ $\ell$ $\ell$
如果在的错误一侧，则原始点可以通过分隔一条线，或者原始点根本不可分离。这种情况很容易检查时间[运动]。 $p$ $\ell$ $p$ $O(n)$

该算法以时间高概率运行（相对于算法的随机选择）。有关更多详细信息，请参见原始论文或任意数量的在线讲义。 $O(n)$

— 杰夫
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非常感谢您，我将深入研究本文。

— com 2012年

在您的第三种情况下，您指出可能会使得该行通过，这对知道有什么帮助？

p

$p$

— Tarrasch 2013年

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您的两个数据集的属性是线性可分离性，简单来说，就是有一条线将它们分开。许多机器学习致力于查找线性分类器，这些线性分类器执行您感兴趣的分离。

当您谈论线条时，我将假设您的点在平面上。你想要做的就是找到价值观，和，使得对所有点在集，和所有点中，。因此，不等式可以看作是集合的分类器。 $w_1$ $w_2$ $w_3$ $(a_1,a_2)$ $A$ $w_1 a_1+w_2a_2\ge w_3$ $(b_1,b_2)$ $B$ $w_1 b_1+w_2b_2<w_3$ $w_1 x+w_2y\ge w_3$ $A$

有很多机器学习算法可用于确定最佳线（线性回归，逻辑回归等）。这些将基于某些错误度量找到值。然后，您可以测试是否所有点均已正确分类。也就是说，所有值是否都满足上面的方程式，并且对于是否类似。 $w_1,w_2,w_3$ $A$ $B$

由于您仅对是否存在这样的行感兴趣，因此需要使用现有技术（尽管这可能会更简单）。只需根据自由变量设置以下。 $w_1,w_2,w_3$

$w_1 a^i_1+w_2a^i_2\ge w_3$ 每个，其中。 $i=1,..,|A|$ $A=\{(a^1_1,a^1_2),\ldots,(a^{|A|}_1,a^{|A|}_2)\}$

$w_1 b^j_1+w_2b^j_2< w_3$ 对于每个，其中。 $j=1,..,|B|$ $B=\{(b^1_1,b^1_2),\ldots,(b^{|B|}_1,b^{|B|}_2)\}$

如果这些约束是一致的，则存在一行。

— 戴夫·克拉克
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如果我没记错的话，支持向量机构造分离的超平面。如果选择尺寸则超平面当然会变成一条线。您可能必须检查是否需要满足其他假设。在两个方面，整个方法可能会大大简化，因此运行时可能比常规方法更好。 $2$

— 乌里
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