求解包含两个递归调用的递归方程

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我试图为以下递归方程找到一个约束： $\Theta$

T (n) = 2 T (n / 2) + T (n / 3) + 2 n^{2} + 5 n + 42

$T(n) = 2 T(n/2) + T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42$

我认为，由于子问题和除法数量的不同，Master Theorem是不合适的。由于没有或因此递归树也不起作用。 $T(1)$ $T(0)$

asymptotics recurrence-relation master-theorem

— 劳拉
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如果您有这种形式的重复出现，则必须有一个基本情况，对于所有

都说

。如果不是这样，那么就不用说递归将解决什么了：也许对于所有

，

，其中

是原始问题的大小！（想象一下，递归的结果就是将要递归的常量与原始元素的所有子集进行比较，以得出常数）换句话说：没有基本情况意味着没有足够的信息来解决递归。

T (n) \leq 42

$T(n) \leq 42$

n < 100

$n < 100$

T (n) = 2^{m}

$T(n) = 2^m$

n < 100

$n < 100$

m

$m$

— 亚历克斯十布林克

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是的，递归树仍然有效！基本情况是否发生在 $T(0)$ 或 $T(1)$ 或 $T(2)$ 甚至 $T(10^{100})$ 。基本案例的实际值也无关紧要。无论该值是多少，它都是一个常数。

通过大θ眼镜观察，复发率为 $T(n) = 2T(n/2)+T(n/3)+n^2$ 。

递归树的根具有值 $n^2$ 。
根有三个子节点，值分别为 $(n/2)^2$ ， $(n/2)^2$ 和 $(n/3)^2$ 。因此，所有子代的总价值为 $(11/18) n^2$ 。
健全性检查：根有9个孙子孙：有四个值，四个具有值和一个具有。这些值的总和为。 $(n/4)^2$ $(n/6)^2$ $(n/9)^2$ $(11/18)^2 n^2$
一个简单的归纳证明意味着对于任何整数，级别的节点的总值。 $\ell\ge 0$ $3^\ell$ $\ell$ $(11/18)^\ell n^2$
级别总和形成一个递减的几何序列，因此只有最大项才是重要的。 $\ell=0$
我们得出结论，。 $T(n) = \Theta(n^2)$

— 杰夫
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您可以使用更通用的Akra-Bazzi方法。

在您的情况下，我们需要找到使得 $p$

\frac{1}{2^{p - 1}} + \frac{1}{3^{p}} = 1

$\frac{1}{2^{p-1}} + \frac{1}{3^p} = 1$

（给出） $p \approx 1.364$

然后我们有

T (x) = Θ (x^{p} + x^{p} \int_{1}^{x} t^{1 - p} d t) = Θ (x^{2})

$T(x) = \Theta(x^p + x^p\int_{1}^{x} t^{1-p} \text{d}t) = \Theta(x^2)$

注意，您实际上不需要求解。您只需要知道。 $p$ $1 \lt p \lt 2$

一个更简单的方法是设置，然后尝试证明是有界的。 $T(x) = x^2 g(x)$ $g(x)$

— Aryabhata
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令是循环右手的简写。我们通过使用找到的上下界： $f(n) = 2T(n/2) + T(n/3) + 2n^2 + 5n + 42$ $f$ $T(n/3) \leq T(n/2)$

3 T (n / 3) + 2 n^{2} + 5 n + 42 \leq f (n) \leq 3 T (n / 2) + 2 n^{2} + 5 n + 42

$3 T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42 \quad \le\quad f(n) \quad\leq \quad 3 T(n/2) + 2n^2+ 5n + 42 \quad$

如果我们使用较低的响应。作为递归的右上界，在两种情况下，我们都可以通过Master定理得到。因此，从上方被，从下方被或等效地，。 $T'(n) \in \Theta(n^2)$ $T(n)$ $O(n^2)$ $\Omega(n^2)$ $T(n) \in \Theta(n^2)$

— 拉斐尔
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让我们继续在聊天中进行讨论

— 拉斐尔

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该技巧不适用于类似的递归，例如，可以通过递归树来解决。（但即使递归树在上也

T (n) = 2 T (n / 2) + 3 T (n / 3) + n^{2}

$T(n) = 2T(n/2) + 3T(n/3) + n^2$

T (n) = 2 T (n / 2) + 4 T (n / 3) + n^{2}

$T(n) = 2T(n/2) + 4T(n/3) + n^2$

— 不起作用