如何找到幂集的子集的最短表示形式？

我正在寻找解决以下问题的有效算法或NP硬度的证明。

令为一个集合，为的子集。找到一个最小长度的序列，使得对于每个，都有一个使得。 $\Sigma$ $A\subseteq\mathcal{P}(\Sigma)$ $\Sigma$ $w\in \Sigma^*$ $L\in A$ $k\in\mathbb{N}$ $\{ w_{k+i} \mid 0\leq i < |L| \} = L$

例如，对于，单词是该问题的解决方案，因为对于存在，对于，。 $A = \{\{a,b\},\{a,c\}\}$ $w = bac$ $\{a,b\}$ $k=0$ $\{a,c\}$ $k=1$

至于我的动机，我试图表示一个有限自动机的边集，其中每个边都可以用输入字母中的一组字母来标记。我想存储一个字符串，然后在每个边缘保留一对指向该字符串的指针。我的目标是最小化该字符串的长度。

algorithms formal-languages encoding-scheme

— 阿瓦卡
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换句话说，问题在于将集排序为序列使最大化？

L_{1}, \dots, L_{n}

$L_1, \dots, L_n$

\sum | L_{i} \cap L_{i + 1} |

$\sum |L_i \cap L_{i+1}|$

— KarolisJuodelė13年

@KarolisJuodelė，我认为这还不够，因为对于您可能不得不将元素放入两次，即使它们在。例如，您可以在前两个或后两个之间共享，但不能共享所有a中最短的a将是。

L_{i}, L_{i + 1}, L_{i + 2}

$L_i, L_{i+1}, L_{i+2}$

L_{i} \cap L_{i + 2}

$L_i \cap L_{i+2}$

w

$w$

L_{i + 1}

$L_{i+1}$

{{a, b}, {a, c}, {a, d}}

$\{\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\}\}$

a

$a$

w

$w$

b a c a d

$bacad$

— avakar 2013年

@KarolisJuodelė，此外，在某些情况下，对于某些，，这使得情况变得更加复杂，因为在这种情况下，“邻居排序”可能不完整。

i \neq j

$i\neq j$

L_{i} \subseteq L_{j}

$L_i\subseteq L_j$

— avakar 2013年

只是为了振作起来，如果我对的问题正确，集合是否为，然后一个单词满足给出的要求，但是（可能）这样的单词和解决方案最少是吗？:)

A = {{c, o, w}, {o, w, l}, {w, o, l, f}}

$A=\{\{c,o,w\},\{o,w,l\},\{w,o,l,f\}\}$

c o w o w l w o l f

$cowowlwolf$

c o w l f

$cowlf$

— MindaugasK

@MindaugasK，这是正确的，非常好的例子:)

— avakar

我相信我从哈密顿路径中得到了减少，从而证明了NP-hard问题。

如果单词满足的条件，则称它为见证人（对于中的每个，都有使得）。 $w\in\Sigma^*$ $A$ $L\in A$ $m\geq 1$ $\{w_{m+i}\mid 0\leq i<|L|\} = L$

考虑原始问题的决策版本，即，确定对于某个和，是否有一个证人的长度最大为。可以使用原始问题作为多项式时间内的预言来解决此问题（找到最短的见证人，然后将其长度与进行比较）。 $A$ $k\geq 0$ $A$ $k$ $k$

现在为减少的核心。令是一个简单的，无向的连通图。对于每个，令为包含顶点及其所有相邻边的集合。设置和。那么，当且仅当存在见证者的的长度至多为才具有哈密顿路径。 $G=(V,E)$ $v\in V$ $L_v=\{v\}\cup\{e\in E\mid v\in e\}$ $v$ $\Sigma=E$ $A=\{L_v\mid v\in V\}$ $G$ $A$ $2|E|+1$

证明。令是的哈密顿路径，并且是路径上所有边的集合。对于每一个顶点，定义该组。选择任意排序每个。字为证人，由于由子表示，乘，对于每个，， $v_1e_1v_2\ldots e_{n-1}v_n$ $G$ $H=\{e_1, e_2, \ldots, e_{n-1}\}$ $v$ $U_v=L_v\setminus H$ $\alpha_v$ $U_v$ $w=\alpha_{v_1}e_1\alpha_{v_2}e_2\ldots e_{n-1}\alpha_{v_n}$ $A$ $L_{v_1}$ $\alpha_1e_1$ $L_{v_n}$ $e_{n-1}\alpha_n$ $v_i$ $i\notin\{1, n\}$ $L_{v_i}$ 由。此外，每个边缘在出现两次，但的边缘出现一次，而每个顶点出现一次，给出。 $e_{i-1}u_{v_i}e_i$ $E$ $w$ $|V|-1$ $H$ $V$ $|w|=2|E|+1$

对于另一个方向，令成为长度最大为的任意证明。显然，每个和至少在中出现一次。在不失一般性的前提下，假设每个最多在中出现两次，而每个恰好出现一次。否则，可以通过从删除元素来找到较短的见证人。令是在出现一次的所有边的集合。给定以上假设，可以认为。 $w$ $A$ $2|E|+1$ $e\in E$ $v\in V$ $w$ $e\in E$ $w$ $v\in V$ $w$ $H\subseteq E$ $w$ $|w|=2|E|-|H|+|V|$

考虑的一个连续串形式的，其中，。我们说是相邻的。注意，如果，则，因为仅发生一次，但它与两个顶点相邻。因此，最多可以在。类似地，在第一个顶点之前或最后一个顶点之后的中，任何边都不会出现。 $w$ $ue_1e_2\ldots e_kv$ $u,v\in V$ $e_i\in E$ $u,v$ $e_i\in H$ $e_i=\{u,v\}$ $e_i$ $G$ $e_i$ $H$ $H$ $w$

现在，顶点，因此。从那里开始，。由于我们假设，我们得到相等。从那里我们得到。根据鸽洞原理，在相邻的每对顶点之间有一个从到的边。表示从所有元素在它们出现的顺序。因此，是的哈密顿路径。 $|V|$ $|H|\leq |V|-1$ $|w|\geq 2|E|+1$ $|w|\leq 2|E|+1$ $|H|=|V|-1$ $H$ $w$ $h_1h_2\ldots h_{n-1}$ $H$ $w$ $v_1h_1v_2h_2\ldots h_{n-1}v_n$ $G$ $\square$

由于确定哈密顿路径存在性的问题是NP-hard，而上述归约是多项式，因此原来的问题也是NP-hard。

— 阿瓦卡
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