求解K形问题的

团问题是公知的 -complete问题，其中所需要的集团的大小是输入的一部分。但是，k-clique问题具有简单的多项式时间算法（当k为常数时为O （n k））。当k为常数时，我对最著名的上限感兴趣。$NP$$O(n^k)$$k$

是否存在运行时间为？甲ø （Ñ ķ） -time算法也是可接受的。此外，这种算法的存在是否有复杂性理论的后果？$O(n^{k-1})$$o(n^k)$

A 3-集团可以在找到 -点图形ģ时刻Ö （Ñ ω），其中ω < 2.376是矩阵乘法指数，和在Ö （Ñ 2）由板井和Rodeh的结果空间[1] 。基本上，它们表明，当且仅当（A （G ））3在其主对角线上具有非零入口时，G才包含一个三角形。因为三角形也是一个循环C $n$$G$$O(n^\omega)$$\omega < 2.376$$O(n^2)$$G$$(A(G))^3$$C_3$，可以使用一般的循环查找方法来检测三角形。ALON，Yuster和兹维克示出了如何可以三角形上的被检测 _edge时图表中Ö （米2 ω /（ω + 1 ））= Ö （米1.41）的时间[6]。$m$$O(m^{2\omega/(\omega+1)}) = O(m^{1.41})$

长期以来，Nesetril和Poljak [2]的结果是最著名的。他们表现出大小的派系的数量可以及时发现ø （Ñ ω ķ）和ø （Ñ 2 ķ）空间。最后，Eisenbrand和Grandoni [3]在Nesetril和Poljak的结果中改进了（3 k + 1 ） -clique和（3 k + 2 ） -clique对于小k值。具体来说，他们提供了用于在时间O中找到大小为4、5和7的群体的算法$3k$$O(n^{\omega k})$$O(n^{2k})$$(3k+1)$$(3k+2)$$k$， O （n 4.220）和 O （n 5.714）。$O(n^{3.334})$$O(n^{4.220})$$O(n^{5.714})$

据我所知，对于一般，设计更好算法的问题是开放的。对于可能的后果或复杂性理论的考虑，唐尼和研究员（例如参见[4]）表明ķ -clique与参数ķ IS w ^ [ 1 ] -hard。类w ^ [ 1 ]表示的类的参数决策问题归结为与CLIQUE参数化减少。相信CLIQUE不是固定参数可处理的。在参数化归约条件下，还有数百个其他等效于CLIQUE的问题。此外，Feige和Kilian [5，第2节]得出的结果是，当$k$$k$$k$$W[1]$$W[1]$$k$是输入和一部分，那么polytime算法是不可能存在的。$k \approx \log n$

如果考虑某些受限图类，则可以解决弦图上线性时间的问题。只需在O （n + m ）时间内计算弦图的集团树，然后检查是否有任何集团的大小恰好是k。在平面图上，也可以使用[6]的方法在O （n ）时间内找到三角形。$G$$O(n+m)$$k$$O(n)$

[1] Itai，Alon和Michael Rodeh。“在图中找到最小电路。” SIAM Journal on Computing 7.4（1978）：413-423。

[2] Nešetřil，Jaroslav和Svatopluk Poljak。“关于子图问题的复杂性。” 卡罗莱纳大学数学评论26.2（1985）：415-419。

[3] Eisenbrand，Friedrich和Fabrizio Grandoni。“关于固定参数集团和支配集的复杂性。” 理论计算机科学326.1（2004）：57-67。

[4] Downey，RG，和Michael R. Fellows。“参数化复杂度基础”。Springer-Verlag（2012），《计算机科学领域的非本科课程》。

[5] Feige，Uriel和Kilian，Joe。“关于有限对多项式不确定性”。芝加哥理论计算机科学杂志。（1997）

[6] Alon，Noga，Raphael Yuster和Uri Zwick。“查找和计算给定的长度循环。” Algorithmica 17.3（1997）：209-223。