是否有一个TM停止所有输入但该属性不可证明？

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是否存在图灵机停止所有输入，但由于某种原因无法证明该属性？

我想知道是否已经研究了这个问题。注意，“不可证明的”可能意味着“有限的”证明系统（从狭义上讲，答案肯定是肯定的）。我当然对最强有力的答案感兴趣，即，用ZFC集合论或任何其他方法都无法证明该答案不能停止。

在我看来，Ackermann函数可能确实如此，但我对细节不了解。维基百科似乎没有清楚地描述这方面。

computability reference-request turing-machines halting-problem

— z
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3

Peano算术足以证明Ackermann的功能是完整的：这是Jaap van Oosten的PA简介简介中的练习17 。

— David Richerby

可计算的fn defn维基百科总数。请注意，此问题的部分原因是通过研究collatz fn（其中是一个长期未解决的问题）引起的

— vzn13年

2

这是一个愚蠢的说法，但是请注意，对于每个在所有输入上终止的图灵机M，理论是一致的理论。但是，使用Gödels定理，我们可以证明没有单一的递归理论可以证明所有此类机器的终结。

P A + " M terminates on all input"

$\mathrm{PA}+\mbox{"$M$ terminates on all input"}$

— 科迪2013年

Answers:

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是。图灵机从其输入开始计算古德斯坦序列，并在序列为零时终止。它总是终止，但是无法在Peano算术中证明。我确定ZFC或您可能选择的任何其他系统都有等效的功能。

编辑对于ZF，Hartmanis和Hopcroft表明，有一个图灵机拒绝所有输入，但这不能在ZF中得到证明。我不确定ZF是否可以证明总是停止，但是它当然不能证明机器 “如果接受然后永远循环，则停止”总是停止，即使它确实如此。这仍然使ZFC保持打开状态，但ZF比PA更强大。 $M$ $M$ $M'(x)$ $=$ $M$ $x$

参见第二节。Scott Aaronson针对P = NP的独立性进行的调查的第 3部分，阐述了Hartmanis-Hopcroft的结果及其对原始论文的引用。

— 大卫·里希比
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关于添加的选择公理：ZFC不能像停机问题“简单”的报表做得比ZF（在这种情况下

，如果我没有记错）。这是因为ZF和ZFC证明完全相同的

语句。

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

— 科迪2013年

6

假设理论至少与“基本”算术运算一样强，并且可以递归枚举（可以枚举每个定理）。 ${\cal T}$ ${\cal T}$

构造以下机器，其行为在输入如下： $M$ $n$

If there is no proof of 0 = 1 in less than n steps in T, ACCEPT
Otherwise, LOOP.

使用第二个不完全性定理很容易证明不能证明在所有输入上都终止（只要它是一致的）。 ${\cal T}$ $M$

这当然适用于，，，......只要它们是一致的。 ${\cal T}=\mathrm{ZFC}$ ${\cal T}=\mathrm{PA}$ ${\cal T}=\mathrm{PA²}$

— 科迪
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5

PA中的一些无法证明但真实的定理可以转换为图灵机。例如，有一个拉姆西定理（的增强版本），在PA中是无法证明的，我们可以构造一台仅搜索正确。 $N$

— 丹尼尔
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