最小生成树与最短路径

最小生成树算法和最短路径算法有什么区别？

在我的数据结构课程中，我们介绍了两种最小生成树算法（Prim和Kruskal）和一种最短路径算法（Dijkstra）。

最小生成树是图形中跨越所有顶点的树，并且树的总权重最小。最短路径很明显，它是从一个顶点到另一个顶点的最短路径。

我不明白的是，由于最小生成树的总权重最小，树中的路径不是最短的路径吗？有人可以解释我所缺少的吗？

任何帮助表示赞赏。

考虑具有单位权重的三角形图-它具有三个顶点，并且所有三个边权重为。两个顶点之间的最短路径是直接路径，但是如果将所有两个顶点放在一起，则会得到一个三角形而不是一棵树。两个边的每个集合都在该图中形成最小的生成树，但是（例如）如果选择，那么您会错过最短路径。$x,y,z$$\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\}$$1$$\{x,y\},\{y,z\}$$\{x,z\}$

总之，如果将所有最短路径放在一起，则不一定会得到一棵树。

没错，Dijkstra（从单个起始节点开始的最短路径）和Prim（从给定节点开始的最小权重生成树）的两种算法具有非常相似的结构。它们既贪婪（从当前角度出发，占据最佳优势），又在图上建立一棵树。

但是，它们最小化的值是不同的。Dijkstra选择从树中引出到尚未选择到最接近起始节点的节点的下一条边缘。（然后使用此选择，将重新计算距离。）Prim选择了到目前为止构建的树中最短的一个作为边缘。因此，两种算法都选择了“最小边缘”。主要区别在于选择的值最小。对于Dijkstra来说，它是从起始节点到候选节点的完整路径的长度，对于Prim而言，它只是那条单边的权重。

要了解差异，您应该尝试构建一些示例以了解会发生什么，这确实很有启发性。显示不同行为的最简单示例是三角形，其边缘和 的长度为2，而 长度为1。 Dijkstra将选择 和 （给出两个长度为2的路径），而Prim选择 和（给出重量3）。$x,y,z$$\{x,y\}$$\{x,z\}$$\{y,z\}$$x$$\{x,y\}$$\{x,z\}$$\{x,y\}$$\{y,z\}$

至于Kruskal，则略有不同。它解决了最小生成树的问题，但是在执行过程中，它选择的边缘可能不会形成一棵树，它们只是避免了循环。因此，部分解决方案可能会断开连接。最后，您会得到一棵树。

尽管最小生成树算法和最短路径算法的计算看起来相似，但它们专注于2个不同的要求。

在MST中，要求到达每个顶点一次（创建图树），并且达到所有顶点的总（集体）成本在所有可能的组合中必须最小。

在最短路径中，要求以最低的成本（最短的权重）从源顶点到达目标顶点。因此，这里我们不必担心到达每个顶点，而只关注源顶点和目标顶点，这就是区别所在。

这是说明为什么MST不一定在2个顶点之间给出最短路径的示例。

(A)----5---(B)----5---(C)
 |                     |
 |----------7----------| 

在MST情况下，边缘AB。BC将使用MST，总重量为10。因此，在MST中达到A到C的成本为10。

但是在最短路径的情况下，A到C之间的最短路径是AC，即7。AC从未处于MST上。

不同之处在于此算法的最终目标是什么-

Dijkstra's-这里的目标是从头到尾。您只关心这2点，并相应地优化路径。

Krusal's-在这里，您可以从任何点开始，并且必须访问图中的所有其他点。因此，您可能并不总是选择任何两个点的最短路径。相反，重点是选择一条路径，使您在所有其他点上都走得更短。

我认为一个例子将使其更清楚。

生成树如下所示。这是因为，如果我们在此配置中合计边缘，则可能得到的总成本最低：2 + 5 + 14 + 4 = 25。

(1)   (4)
  \   /
   (2)
  /   \
(3)   (5)

通过盯着生成树，您可能会错误地认为它为您提供了最短的路径，但实际上却没有。举个例子，如果我们要从节点(1)转到(4)它，将花费我们7。但是，如果我们在原始图中使用Dijkstra的算法，我们会发现我们可以直接从节点(1)转到(4)，成本为5。

展示差异的实用示例>

假设您乘火车到达城镇，并想到达酒店。

选项1：乘坐出租车：从车站到酒店，出租车将以最短的路线行驶。驾驶员是否应沿着以车站为中心的最短路径树走。

选项2：乘公共汽车。公交公司想迎合可能的人，而不仅仅是您。理想的道路将覆盖该镇的所有关键点。因此它将沿着最小生成树遵循（*）路径。这就是公交车速度较慢的原因，但由于费用分摊，所以价格便宜。

（*）实际上，如果使用最小的生成树，人们会抱怨（公交车路程太长）。因此，在实践中这将是一个混合解决方案，并且将使用Alpha-Tree（最小生成树和最短路径树之间的半路）。

它们基于两个不同的属性。最小生成树基于剪切属性，而最短路径基于边缘松弛属性。

剪切将图形分为两个部分。它可能涉及多个边缘。在MST中，我们选择权重最小的边缘。

边缘松弛表示，如果dist（a，b）+ edge（b，c）小于dist（a，c），然后我可以放松edge（ac）。放松所有边缘后，我们得到了最短的路径。

我强烈建议您观看Robert Sedgewick教授关于图形算法的视频。