为什么NP中没有这个无法确定的问题？

显然，NP中没有任何无法确定的问题。但是，根据维基百科：

NP是所有决策问题的集合，对于这些问题，答案为“是”的实例具有[..证明]可通过确定性图灵机在多项式时间内验证。

[...]

当且仅当存在在多项式时间内执行的问题的验证者时，才认为问题出在NP中。

现在考虑以下问题：

给定Diophantine方程，它有没有整数解？

给定一个解决方案，很容易在多项式时间内验证它确实是一个解决方案：只需将数字插入方程式即可。因此，问题出在NP。然而，众所周知，解决这个问题还不确定！

（类似地，似乎暂停问题应该在NP中，因为“该程序在第N步停止”的“是”解决方案可以在N步中得到验证。）

显然我的理解有问题，但这是什么？

NP的等效定义是，它包含由不确定性Turing机器在多项式时间内可确定（不仅可验证）的所有问题。从NTM可以确定的问题集合与TM可以确定的问题集合相同的意义上讲，NTM的功能不如TM强大，因此很明显，根据此定义，NP中不会存在无法确定的问题。

为了证明NP的两个定义是等效的，给定确定性验证器的存在，您可以证明存在非确定性决策者，反之亦然。

假设您有确定性多项式验证程序。然后还有一台机器，它不确定性地猜测长度与该问题/验证程序的证书大小范围相对应的多项式所限制的证书，然后运行验证程序。由于字母是有限的，因此任何给定输入的证书都是有限的（并且输入的大小最多为多项式），并且验证程序以多项式时间运行，因此该机器在所有输入的所有分支上暂停并在（非-确定的）多项式时间。因此，每个确定性验证者都有一个非确定性决策者。

如果您有一个不确定的决策者，那么对于每个接受的计算，您都可以写下决策者为达到接受状态所进行的选择的路径。由于决策程序以多项式时间运行，因此该路径最多具有多项式长度。确定性TM可以很容易地验证这样的路径是从NTM到接受状态的有效路径，因此，此类路径形成了针对该问题的多项式时间验证器的证书。因此，每个非确定性决策者都有一个确定性验证器。

因此，任何无法确定的问题都不能使验证程序对多项式大小的证书起作用（否则，验证程序的存在将意味着判决程序的存在）。

当您声称存在针对暂停问题的验证程序时，您所谈论的证书是（TM，I，N）的某种编码，其中TM以N步的形式在输入I处暂停。确实可以在N步中验证这一点，但是证书的大小不是输入到原始问题（暂停问题）的（TM，I）大小的多项式；N可以任意大（与编码无关）。如果尝试将这样的验证程序转换为不确定的决策程序，则最终会得到一台有趣的机器。当（TM，I）为一个TM运行，你应该能够证明不在输入I上停止时，不存在通过机器的非停止路径，但是对于导致停止状态的任何路径，总是存在另一条较长的路径（对应于较大的N的猜测），因此对它的执行时间。从本质上讲，这是因为最初的不确定性猜测需要探索无限的空间。将此类NTM转换为确定性 TM会导致其中一台既不会循环输入也不会暂停输入的机器。实际上，不存在任何可以确定停止问题的NTM，因此没有验证程序可用于具有有限大小的证书。

我对Diophantine方程不是很熟悉，但是看起来您的论点本质上是同样的问题。

因此，我发现对NP的NTM定义进行推理更容易。存在无法确定问题的验证器（只有那些验证器使用的多项式大小受原始问题的输入大小限制的验证器）。实际上，任何能够识别但不能决定某种语言的TM 都可以轻松地转换为同一语言的验证器。

如果您确实考虑过验证者，那么我想您必须根据原始问题输入的大小（而不是证书的大小）给出他们的时间范围；您可以任意增加证书的大小，以便验证程序在证书大小方面的运行时间较短。

我认为您误解了求解双色子方程和Matiyasevich的不可确定性定理的含义。

Matiyasevich证明，对于每个RE集都有一个二元方程，使得仅在存在整数系数，..，使得。特别地，停止问题是典型的RE集合，因此解决上述问题是不确定的。˚F （Ñ ; X 1，。。。$S$$f(n;x_1,...,x_k)$$n \in S$$x_1$$x_k$$f(n;x_1,...,x_k) = 0$

请注意，的大小，并且通常可以任意大，因此在此问题中没有明显的“多项式大小的证书”。$x_1, ... x_k$

要扩展：整数必须以二进制形式写入才能成为证书。由于这些整数可以任意大（与无关），因此我们证明证书不是多项式或更重要的是，不受可计算函数的限制。$x_1, ... , x_k$$n$$\log n$

但是每个问题都有一个证书，该证书受某个多项式约束（其中是输入的大小）。因此问题是可以轻易确定的，因为您可以枚举长度为每个可能的位串，并且如果没有一个可以证明输入，则返回false。如果有，则返回true。 p （N ）N N p p （N $\mathsf{NP}$$p(N)$$N$$\mathsf{NP}$$p(N)$

您应该向下滚动到正式定义：

$L$$p$$q$$M$

• $x$$M$$p(|x|)$$(x,y)$
• $x \in L$$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 1$
• $x \not\in L$$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 0$

也就是说，验证者还必须处理非解决方案。在那里的某个地方，无法确定的问题失败了（在您的情况下，解决方案候选者的长度限制可能得不到满足），从（在可计算性的意义上）更清晰的定义显而易见：

NP是由多项式时间内运行的非确定性图灵机确定的一组决策问题。

我尝试为上述答案提供更多详细信息。

实际上，这个问题是一个难题。

一方面，根据马蒂耶斯维奇定理（迪奥定理定理回答了希尔伯特的第十个问题，图灵的霍尔廷问题回答了希尔伯特的第十个问题，即Entscheidungsproblem的推广），丢番图方程问题（DEP）是不可确定的。但另一方面，根据NP的定义（可确定和可验证），NP中没有任何无法确定的问题。

也就是说，DEP不在NP中，或者DEP在NP中。他们两个都涉及NP的定义。

如果DEP不在NP中，则意味着NP中的问题（NDTM ＝非确定性图灵机）是可确定和可验证的，也就是说我们接受P = NP（NDTM）。

如果DEP在NP中，则NP（NTM ＝非图灵机）包含可判定和不可判定，显然可判定是可验证的，因此问题在于不可判定是否可验证？实际上，这就是P对NP的著名问题。当然，不确定性是无法验证的，因此NP对应于NTM（非图灵机）而不是NDTM（非确定性图灵机）。

在DEP的前提下是NP（NTM），我们认为NP（NTM）是不确定性问题（不确定），而当前NP（NDTM，可确定和可验证）的定义已经失去了这种不确定性（不确定）。我们认为它需要受到质疑。

我们认为您对Diophantine方程提出的难题非常重要，因为它揭示了当前NP定义中的某些异常现象：-仅当存在针对多项式执行的问题的验证者时，NP才存在问题时间。

关于NP的定义，它可以追溯到60年代，在那里发现了许多适用的重要问题，没有找到多项式算法可以解决这些问题，以便从多项式时间内可解决的问题中识别出这些问题。 （P），提出了NP的概念。

但是，当前的NP定义在多项式时间内可验证，这使NP与P混淆，因为P中的问题在多项式时间内也可验证。换句话说，这样的定义导致NP本质的丧失“不确定性”。因此，它在理解NP方面造成了严重的歧义，例如，您的困境：从本质上来说，Diophantine方程的问题是不确定的。但是根据NP的定义，这是可以决定的……

我们认为，解决“ P vs. NP”的困难首先在于认知水平，因此，如果我们希望深入了解“ P vs. NP”，我们首先要问：什么是NP？