一个将NP与coNP分开的神谕

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如何证明？我只是在寻找这样的Oracle TM和适用的递归语言。 $\mathsf{NP}^A \neq \mathsf{coNP}^A$ $M$ $L(M) = L$

我所知道的证据，你表明，有一个Oracle这样和Oracle这样。我暗示我应该通过扩展的证明来找到这样的甲骨文，但是无论我在哪里搜索和阅读，它在任何地方都是“显而易见的”或“直截了当的”我只是根本看不出如何证明这一点。 $A$ $\mathsf{P}^A \neq \mathsf{NP}^A$ $A$ $\mathsf{P}^A = \mathsf{NP}^A$ $A$ $\mathsf{P}^A \neq \mathsf{NP}^A$

complexity-theory relativization

— 史蒂文森
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目前尚不清楚您是否遵循了提示。我很惊讶地听到很明显，但是您可以在（例如）Arora和Barak的《计算复杂性：现代方法》中找到证明。

P^{A} \neq N P^{A}

$P^A \neq NP^A$

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正如Max所说，修改并不难，我建议您不要阅读本答案的其余部分，而是多考虑一下问题，只有一部分需要修改，并且要记住机器接受将帮助您修复该部分。 $\mathsf{coNP}$

我将在下面解释所需的修改，但首先让我们简要了解一下原始证明。

在证明原件是建立在步骤步骤用make确保个机，，并不能决定语言正确。请注意，该集合位于。 $A=\bigcup_n A_n$ $i$ $i$ $\mathsf{P}$ $M_i$ $\{x \mid \exists y\in A \ |x|=|y| \}$ $\mathsf{NP}^A$

我们使用在上建立的部分模拟来实现这一点，其中足够大（字符串比前面步骤中考虑的字符串长）。接受，我们不添加任何内容，如果它拒绝，我们添加一个长度为的字符串，表示不对该集合进行查询（存在这样的字符串，因为存在成倍的长度为字符串，但是无法询问所有这些都在多项式时间内）。在以后的步骤中，我们将不会修改这一部分（即长度为或更短的字符串将保持不变）。这可以确保 $M_i$ $A$ $0^m$ $m$ $M_i$ $m$ $M_i$ $m$ $M_i$ $A$ $m$ $M_i^A$ 将无法正确决定语言并完成证明。

现在，假设机器位于中，而不是。我们需要修改的证明，以确保将无法识别。如果它接受，我们将保留为以前的样子，并且一切工作都与原始证明中一样。如果拒绝，我们需要在集合中添加一个字符串，以确保其不能正确回答。我们仍然可以用的一部分来模拟，问题是可能查询所有长度为字符串。机器的工作方式在这里变得很重要。它接受且仅当全部 $M_i$ $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$ $M_i^A$ $L$ $A$ $M_i$ $A$ $M_i$ $n$ $\mathsf{coNP}$ 计算路径接受。由于在这种情况下拒绝，因此存在一条拒绝的计算路径。只要我们保持此路径完整无缺，一切都会起作用，因此我们只需要使该路径中查询的答案保持相同即可。该路径中的查询数量是多项式（因为机器以多项式时间运行），因此存在路径长度不为字符串，只需将其中一个添加到，其余的证明按之前。 $m$ $A$

这些步骤是算法步骤，因此集合是递归的（构造的基本部分是能够模拟可以在）。 $A$ $\mathsf{DSpace}(n^{\omega(1)})$

— 卡韦
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您可能还希望查阅Christos Papadimitriou撰写的“ 计算复杂性 ”一文。特别是第14章第3节，深入探讨了甲骨文。例如，详细提供了一些Oracle和和证明，这可能对您的主要问题有所帮助。希望能有所帮助。 $P^A = NP^A$ $P^B \not= NP^B$ $A$ $B$

— 文森特·鲁索（Vincent Russo）
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