是{ww | ……}是否与上下文无关？

将语言定义为。换句话说，包含不能表示为重复两次的某个单词的单词。是否与上下文无关？ $L$ $L = \{a, b\}^* - \{ww\mid w \in \{a, b\}^*\}$ $L$ $L$

我试图将与相交，但是我仍然无法证明任何东西。我也看了帕里克定理，但这没有帮助。 $L$ $a^*b^*a^*b^*$

formal-languages context-free formal-grammars

— 叶夫根尼（Evgeny Eltishev）
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注意这个密切相关的问题。

— 拉斐尔

Answers:

它是上下文无关的。这是语法：

$S \to A | B|AB|BA$
$A \to a|aAa|aAb|bAb|bAa$
$B \to b|aBa|aBb|bBb|bBa$

产生奇数长度的单词，中间带有。和相同。 $A$ $a$ $B$ $b$

我将提供证明该语法正确的证据。让（在这个问题的语言）。 $L = \{a,b\}^* \setminus \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$

定理。 。换句话说，该语法生成问题中的语言。 $L = L(S)$

证明。 这肯定适用于所有奇数个单词，因为该语法会生成所有奇数个单词，就像。因此，让我们关注偶数字。 $L$

假设具有偶数长度。我将表明，。特别是，我声称可以以的形式编写，其中和都具有奇数长度并且具有不同的中心字母。因此，可以从或派生（根据的中心字母是还是）。索赔的理由：让第个字母 $x \in L$ $x \in L(G)$ $x$ $x=uv$ $u$ $v$ $x$ $AB$ $BA$ $u$ $a$ $b$ $i$ $x$ 记为，因此。然后，因为是不是在，必须存在一些索引使得。因此，我们可以取 $x_i$ $x = x_1 x_2 \cdots x_n$ $x$ $\{ww \mid w \in \{a,b\}^{n/2}\}$ $i$ $x_i \ne x_{i+n/2}$ 和 ; 的中心信将，和中央字母将是，所以通过构建具有不同的中心字母。 $u = x_1 \cdots x_{2i-1}$ $v = x_{2i} \cdots x_n$ $u$ $x_i$ $v$ $x_{i+n/2}$ $u,v$

接下来假设具有偶数长度。我将表明，我们必须有。如果长度为偶数，则它必须可以从或派生；在不失一般性的前提下，假设它可从派生，并且其中可从派生，可从派生。如果具有相同的长度，那么我们必须具有 $x \in L(G)$ $x \in L$ $x$ $AB$ $BA$ $AB$ $x=uv$ $u$ $A$ $v$ $B$ $u,v$ （因为他们有不同的中央字母），所以。因此，假设具有不同的长度，分别为长度和。然后它们的中心字母和。这一事实 $u\ne v$ $x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$ $u,v$ $\ell$ $n-\ell$ $u_{(\ell+1)/2}$ $v_{(n-\ell+1)/2}$ 具有不同的中心字母表示。由于，这意味着。如果我们尝试将分解为 $u,v$ $u_{(\ell+1)/2} \ne v_{(n-\ell+1)/2}$ $x=uv$ $x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2}$ $x$ 其中具有相同的长度，那么我们将发现，即，所以 $x=ww'$ $w,w'$ $w_{(\ell+1)/2} = x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2} = w'_{(\ell+1)/2}$ $w\ne w'$ 。特别是，它遵循。 $x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$ $x \in L$

— 叶夫根尼（Evgeny Eltishev）
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根据叶夫根尼·埃尔提舍夫（Evgeny Eltishev）给出的提示/略过，我对答案进行了编辑，以证明该语法的正确性。希望现在应该更清楚为什么会起作用。

— DW

它可以生成“ aabb”吗？

— manasij7479

@ manasij7479是：

。

S \to A B \to a B \to a (a B b) \to a a b b

$S \to AB \to aB \to a(aBb) \to aabb$

— J.-E.

该语言是上下文无关的，以下论文对此进行了证明：

扎克Tomaszewski。“重复字符串的上下文无关语法。” 信息与计算机科学学报，2012（PDF）。

语法如下：

\begin{aligned} S & \to E ∣ U ∣ ϵ \\ E & \to A B ∣ B A \\ A & \to Z A Z ∣ a \\ B & \to Z B Z ∣ b \\ U & \to Z U Z ∣ Z \\ Z & \to a ∣ b \end{aligned}

$\begin{align*} S&\to E\mid U\mid \epsilon\\ E&\to AB\mid BA\\ A&\to ZAZ\mid a\\ B&\to ZBZ\mid b\\ U&\to ZUZ\mid Z\\ Z&\to a\mid b \end{align*}$

— 马什雷吉
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欢迎！以下不是对该答案的批评。该杂志信息与计算科学的由“世界学术联盟”，这是上公布北奥的名单掠夺性的开放存取出版商。令人遗憾的是，世界上有一些公司会花大量的钱来发表论文，这些论文除了解决本科水平的练习外别无所求。

— David Richerby

我没有足够的声誉对上述答案发表评论。但是这种语法对我来说似乎是错误的。它无法生成该语言中的“ aaab”。

— A. Mashreghi

C F G \to C N F \to C Y K

$CFG \to CNF \to CYK$

S \to A B \to a A a B \to a a a B \to a a a b

$S\to AB\to aAaB\to aaaB\to aaab$

a a a b

$aaab$

您说对了

— A. Mashreghi