大师定理不适用？

给定以下递归方程

我们要应用主定理并注意

$$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+n\log n$$

$$n^{\log_2(2)} = n.$$

现在我们检查的前两种情况，即是否$\varepsilon > 0$

• 或$n\log n \in O(n^{1-\varepsilon})$
• 。$n\log n \in \Theta(n)$

这两种情况都不令人满意。因此，我们必须检查第三种情况，即是否

• 。$n\log n \in \Omega(n^{1+\varepsilon})$

我认为第三个条件也不满足。但为什么？对于为什么不能在这种情况下应用Master定理，有什么好的解释？

Thomas H. Cormen，Charles E. Leiserson，Ronald L.Rivest和Clifford Stein（第二版，2001年）在《算法介绍》中证明了您所引用的Master定理的三种情况。

可以正确地观察到，所讨论的递归介于案例2和案例3之间。对于任何ε > 0，增长快于n，但慢于n 1 + ε。$f(n) = n \log n$$n$$n^{1+\varepsilon}$$\varepsilon > 0$

但是，该定理可以推广到覆盖这种重复。考虑

$f(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^k n)$$k\geq 0$

$k = 0$$f(x)$$\Theta (\log_b n)$

$$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n)$$

在算法导论中，此语句保留为练习。

$$T(n) = \Theta(n \cdot \log^2 n).$$

有关主定理的更多详细信息，请参见出色的（imho）Wikipedia页面。

$$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$ $f(x)$$g(x)$$c$$f(n) = n \log n$$g(n) = n^{1+\varepsilon}$$\log n \not\in \Theta (n^{1+\varepsilon}).$

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案例2A的主定理证明草图。

这是对算法介绍中的证明部分的复制，并进行了必要的修改。

首先我们证明以下引理。

引理A：

考虑一个函数 其中然后

$$g(n) = \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b {n-1}} a^j h(n/b^j)$$ $h(n) = n^{\log_b a} \log_b^k n.$$g(n) = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

证明： 将入的表达式可以得到 $h(n)$$g(n)$

$$g(n) = \displaystyle n^{\log_b a} \log_b^k n \; \sum_{j=0}^{\log_b{n-1}} \left(\frac{a}{b^{\log_b a}}\right)^j = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$$

QED

如果给定递归 是的精确幂 可以将其重写为 用 代替，将移到外面并应用引理A$n$$b$

$$T(n) = a T(n/b) + f(n),\quad T(1) = \Theta(1)$$ $$T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) + \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b n - 1} a^j T(n/b^j).$$ $f(n)$$\Theta(n^{\log_b a} \log_b^k n)$$\Theta$

$$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n).$$

将其推广为不是的幂的任意整数超出了本文的范围。$n$$b$

Akra-Bazzi定理是主定理的严格推广。作为奖励，它的证明是积分飞雪，它将使您的头部旋转;-)

在任何情况下，Sedgewick在他的“算法分析导论”中都令人信服地指出，应该努力证明类型的渐近性。$T(n) \sim g(n)$