动态编程的案例区分：需要示例！

我从事动态编程已有一段时间了。评估动态编程递归的规范方法是创建一个包含所有必要值的表，并将其逐行填充。有关简介，请参见例如Cormen，Leiserson等人：“算法简介”。

我将重点放在二维（逐行填充）的基于表的计算方案上，并研究单元格依存关系的结构，即在计算另一个单元格之前需要完成哪些单元格。我们用表示$\Gamma(\mathbf{i})$单元格$\mathbf{i}$依赖的单元格的索引集。请注意，$\Gamma$必须是无周期的。

我从计算出的实际函数中抽象出来，并专注于其递归结构。形式上，如果递归具有以下形式，则我认为它$d$是动态编程

$\qquad d(\mathbf{i}) = f(\mathbf{i}, \widetilde{\Gamma}_d(\mathbf{i}))$

与，〜Γ d（我）= { （Ĵ，d （Ĵ））| Ĵ ∈ Γ d（我）}和˚F一些（可计算）函数，它不使用ð比通过其他〜Γ d。$\mathbf{i} \in [0\dots m] \times [0\dots n]$$\widetilde{\Gamma}_d(\mathbf{i}) = \{(\mathbf{j},d(\mathbf{j})) \mid \mathbf{j} \in \Gamma_d(\mathbf{i}) \}$$f$$d$$\widetilde{\Gamma}_d$

当限制的粒度粗糙区域（左侧，左上，上，右上，...当前单元格）的一个观察到有三个基本例（高达对称性和旋转）的有效动态编程递归，通知如何填充表：$\Gamma_d$

红色区域表示（近似）。情况一和二承认子集，情况三是最坏的情况（直到索引转换）。注意，并非严格要求整个红色区域都被Γ覆盖；表格每个红色部分中的一些单元格足以将其涂成红色。明确要求白色区域不包含任何必需的单元格。$\Gamma$$\Gamma$

第一种情况的示例是编辑距离和最长公共子序列，第二种情况适用于Bellman＆Ford和CYK。不太明显的例子包括：对角线而不是行（或列），因为它们可以旋转以适应所提出的情况；有关示例，请参见乔的答案。

不过，对于情况三，我没有（自然的）例子！所以我的问题是：案例三的动态编程递归/问题有哪些示例？

还有许多其他动态编程算法的示例根本无法满足您的模式。

• 最长的子序列增长问题仅需要一个一维表。

• 有几种自然的动态编程算法，它们的表需要三个或什至更大的维度。例如：在位图中找到最大面积的白色矩形。自然动态规划算法使用三维表。

• 但最重要的是，动态编程与表无关；这是关于递归递归的。有很多自然的动态编程算法，其中用于存储中间结果的数据结构不是数组，因为展开的递归不在整数范围内。两个简单的示例是找到树中最大的独立顶点集，并找到两棵树的最大公共子树。一个更复杂的例子是$(1+\epsilon)$ Arora和Mitchell针对欧几里德旅行推销员问题近似算法。

本着这种精神，计算阿克曼函数。要计算您需要知道某个较大k的A （m ，n - 1 ）和A （m - 1 ，k ）。第二个坐标减小，或者第一个坐标减小，第二个潜在地增大。$A(m,n)$$A(m,n-1)$$A(m-1,k)$$k$

由于列数是无限的，因此这不理想地满足要求，并且计算通常自上而下地进行存储，但我认为值得一提。

这并不完全适合案例3，但是我不知道您的案例中是否有任何一个捕获了用于教动态编程的非常普遍的问题：矩阵链乘法。为了解决这个问题（以及许多其他问题，这只是规范的问题），我们用对角线而不是逐行填充矩阵。

所以规则是这样的：

我知道这是一个愚蠢的例子，但我认为一个简单的迭代问题

在平方矩阵中找到数字的总和

可能有资格。传统的“对于每一行每一列”有点像您的情况3。

这完全不是您要查找的搜索空间，但是我对我的想法有所帮助。

问题：

$n × n$$M$$x$$M$

回答

这可以通过以下递归方式解决：

$k = \lceil{\frac{1+n}{2}}\rceil$。现在比较$x$ 与 $m_{k,k}$。如果$x<m_{k,k}$ 我们可以丢弃任何元素 $m_{i,j}$ 对于 $k\leq i\leq n$ 和 $k\leq j\leq n$ 即，搜索空间减少了 $1/4$。同样，当$x>m_{k,k}$，搜索空间减少了 $1/4$。因此，在第一次迭代之后，搜索空间的大小变为$\frac{3}{4} n^2$。您可以进一步递归执行以下操作：我们进行3个比较：$x$ 在其余三个象限的每个象限中使用中间元素，则剩余搜索空间的大小变为 $\left(\frac{3}{4}\right)^3 n^2$ 等等。