regex golf NP-Complete吗？

如最近的XKCD摘录和最近的博客文章所示来自Peter Norvig（以及Slashdot故事中的后者），“ regex golf”（可能更好地称为正则表达式分离问题）是定义可能的最短正则表达式的谜题，该正则表达式接受集合A中的每个单词，而在其中不包含任何单词B集。Norvig的帖子中包含用于生成合理的简短候选者的算法，他指出他的方法涉及解决NP完全集覆盖问题，但他也要小心地指出，他的方法并未考虑所有可能的正则表达式，当然，他不一定是唯一的算法，因此不能保证他的解是最优的，而且其他确定的多项式时间算法也有可能找到等效或更好的解。

为了具体起见并避免解决优化问题，我认为正则表达式分隔的最自然表达是：

给定在某个字母两组（有限）字符串和，是否存在长度的正则表达式，该正则表达式接受每个字符串并拒绝每个字符串？$A$$B$$\Sigma$$\leq k$$A$$B$

是否知道有关此特定分离问题的复杂性？（请注意，由于我已将和指定为有限的字符串集，因此问题的自然大小概念是和中所有字符串的总长度；这会淹没任何贡献）。在我看来，它很可能是 NP完全的（实际上，我希望这种减少是某种掩护性问题），但是一些搜索并没有发现任何特别有用的东西。$A$$B$$A$$B$$k$

假设正则表达式的TCS变量，问题确实是NP完全的。

我们假设我们的正则表达式包含

• 来自字母，彼此匹配，$\Sigma$
• ，表示并集，$+$
• ，表示串联，$\cdot$
• ，表示Kleene-Star，$*$
• ，匹配空字符串$\lambda$

没什么 正则表达式的长度定义为的字符数。就像在漫画中一样，如果正则表达式匹配单词的子字符串，我们会认为它与单词匹配。（更改任何这些假设都只会影响以下结构的复杂性，而不会影响总体结果。）$\Sigma$

正如评论中所解释的那样，它在NP中是很简单的（将候选RE转换为NFA并在和B的所有单词上进行验证）。$A$$B$

为了显示NP硬度，我们减少Set覆盖：

给定一个宇宙和收集ç的子集的ü，有一组ç ' ⊆ Ç尺寸≤ ķ使得⋃ 小号∈ C ^ '小号= ú？$U$$C$$U$$C' \subseteq C$$\leq k$$\bigcup_{S \in C'} S = U$

我们将Set Cover的输入转换为regex golf的输入，如下所示：

• 包含 C中每个子集一个字符和一个附加字符（以下用 x表示）。$\Sigma$$C$$x$
• 包含每个 U元素 e的一个单词。该词完全由代表 C中包含 e（任意顺序）的子集的字符组成。$A$$e$$U$$C$$e$
• 包含单词 x。$B$$x$
• 简单地结转。$k$

这种减少显然以P为单位，并且等效也很容易看到：

• 如果是布景实例的解，则正则表达式c 1 + ⋯ + c k是正则表达式高尔夫的解。$c_1, \ldots, c_k$$c_1 + \cdots + c_k$
• 匹配空子词的正则表达式将匹配。因此，任何解决高尔夫问题的正则表达式都必须包含A中每个单词中的至少一个字母。因此，如果高尔夫球实例是可解的，则从Σ中最多有k个字母的集合，以便A中的每个单词都被这组字母覆盖。通过构造，来自C的对应子集集合是该集合覆盖实例的解决方案。$x$$A$$k$$\Sigma$$A$$C$