具有在摊销时间内搜索，插入和删除的数据结构

是否有数据结构可维护在摊销时间内支持以下操作的有序列表？ $O(1)$

GetElement（k）：返回列表的第个元素。 $k$
InsertAfter（x，y）：将新元素y插入x后面的列表中。
Delete（x）：从列表中删除x。

对于最后两个操作，您可以假定x是直接作为指向数据结构的指针而给出的。InsertElement返回y的相应指针。InsertAfter（NULL，y）在列表的开头插入y。

例如，从一个空的数据结构开始，以下操作将更新有序列表，如下所示：

InsertAfter（NULL，a） $\implies$ [一种]
InsertAfter（NULL，b） $\implies$ [b，a]
InsertAfter（b，c） $\implies$ [b，c，a]
InsertAfter（a，d） $\implies$ [b，c，a，d]
删除（c） $\implies$ [b，a，d]

在这五个更新之后，GetElement（2）应该返回d，而GetElement（3）应该返回一个错误。

— 在
source

在列表索引和子集排名的最佳算法（1989）中，我发现了

解决了这个问题。

Ω (\frac{l o g n}{l o g l o g n})

$\Omega{(\frac{log\ n}{log\ log\ n})}$

— 2012年

@Raphael：我认为他的意思是，如果数据结构是数组，则该元素将被称为

。数组支持

时间的第一个操作，但不支持第二个；链表支持

时间中的第二个操作，但不支持第一个操作。

A [k]

$A[k]$

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

— JeffE 2012年

同样，平衡的二叉树在

时间内支持两种操作。

O (\log n)

$O(\log n)$

— JeffE 2012年

@Raphael：编辑以澄清。

— JeffE 2012年

@JeffE动态阵列支持在头两个

摊销时间（cs.uwaterloo.ca/research/tr/1999/09/CS-99-09.pdf）

O (1)

$O(1)$

— 圣地亚哥

Answers:

没有。

Fredman和Saks证明，支持这些操作的任何数据结构至少需要每次操作摊销时间 $\Omega(\log n/\log\log n)$ 。（这是Dietz在您的第一个评论中提到的参考文献[1]。）下限适用于非常强大的单元探针计算模型，该模型仅考虑更新和查询访问的不同内存地址的数量。算法。

如果没有关于更新和查询操作的其他附加假设，Dietz的数据结构将是最好的（至少要考虑到恒定因素）。

— 杰夫
source

@AT：这个界限从来没有被“证明是错误的”。在某些情况下它并不适用，但这是完全不同的说法！

— 拉斐尔

@AT：排序下限是在较弱的计算模型（即二进制决策树）中证明的。通过开发无法描述为二进制决策树的更快算法，“证明了错误” 。为了证明Fredman和Saks的下界错误，您必须设计一种不访问内存的更快算法。祝你好运。

— JeffE 2012年

@JeffE和Raphael；请查看我的其他答案，并在有机会时确认/拒绝我的结果。谢谢。

— 2013年

看起来像通过修改计时码表技术的分析，已克服了障碍。 $\Omega(\dfrac{\log n}{\log\log n})$

新的[lower] 界线已被证明可用于细胞探针模型[1]中的类似问题。通过阅读该文章；据我了解，该限制也适用于列表表示问题。 $\Omega(\log n)$

[1] Patrascu，Mihai和Erik D. Demaine。“ Cell-Probe模型中的对数下界。” SIAM J. Comput。35，没有 4（2006年4月）：932-963。doi：10.1137 / S0097539705447256。

— 在
source

此下限适用于大小固定的单词，而较早的

下限适用于对数大小的单词。

Ω (\log n / \log \log n)

$\Omega(\log n/\log\log n)$

— Yuval Filmus 2013年

确实。另外，您是否可以确认此界限适用于大小恒定的单词的列表表示问题？

— 2013年

我可以确认这一点，因为您自己提到过Dietz绑定（hdl.handle.net/1802/5694）。这使得复杂度恰好为

，因此不是

。

Θ (\log n / \log \log n)

$\Theta(\log n/\log \log n)$

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

— jbapple