以可逆方式将有向图转换为无向图

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我正在寻找一种算法，以可逆的方式将有向图（有向图）转换为无向图，即，如果我们得到无向图，则该有向图应该是可重构的。我知道这将以无向图具有更多顶点为代价，但是我不介意。

有谁知道该怎么做或可以提出任何建议？提前致谢。

更新：关于下面的AdrianN的答案。这可能是一个很好的起点，但我认为它不能以当前形式运行。这是为什么我不这样认为的图像：在此处输入图片说明

DW发表评论后进行更新：我认为图的顶点是未标记的。如果一个解决方案涉及到标注顶点（就像AdrianN一样），那么无论标注如何完成，它都应该给出相同的（同构）无向图。我对带有标记顶点的图的“同构”定义是，存在与这两个图相关的标记的排列，但是我不确定未标记图的确切定义。

algorithms graph-theory graphs

— 杂种
source

1

我认为这个问题太广泛了。你有什么限制？

— adrianN 2014年

我现在真的想不出任何限制。我猜有任何一种方法可以将有向图的信息编码为无向的，只要它是可逆的。我想我想到的是最简单的无向图类型，因此我正在寻找一种不对顶点或边使用颜色的解决方案。

— Heterotic

我认为您应该在问题中指定“同一图形”的含义。您是说顶点被标记，还是顶点未被标记？您是说两个

都相同，还是两个图是同构的？听起来您的意思是后者。您确定这是您的应用程序中的要求吗？如果你被允许保留的标签，这个问题变得更容易和AdrianN的回答可以（因为边缘

是不一样的边缘

）。

(V, E)

$(V,E)$

(3, 4)

$(3,4)$

(1^{'}, 2^{'})

$(1',2')$

— DW

2

请结合您的更新进入正题。在任何时间点，SE帖子应自上而下可读，而不必担心历史记录；那是单独存档的。

— 拉斐尔

Answers:

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$e=(x,y)$ $v^e_1, \dots, v^e_5$ $e$ $xv^e_1$ $v^e_1v^e_2$ $v^e_1v^e_3$ $v^e_3v^e_4$ $v^e_4v^e_5$ $v^e_3y$

$v^e_5$ $e=(x,y)$ $v^e_4$ $v^e_4$ $v^e_3$ $v^e_3$ $v^e_1$ $v^e_2$ $v^e_1$ $v^e_2$ $v^e_1$ $x$ $v^e_3$ $y$ $(x,y)$ $v^e_1, \dots, v^e_5$

— 大卫·里奇比
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7

David Richerby的回答（被接受）是好的。

我按照他的指示写了一个简单的示例有向图，希望对您有所帮助。

有向图a <-> b，c-> a，b-> c

（我会将其发布为对David答案的评论，但我没有所需的声誉点。）

— 威廉
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1

图形表示形式是对原始答案的巨大改进。感谢您将其发布为答案而不是评论。

— OrangeSherbet

1

当我看着数学论文中的正式解释或公式时，我总是感到不知所措。我只需要克服这种焦虑，然后慢慢看每个句子-向上看我不熟悉的事物。然后，我写下了这样的示例以确保我理解。到最后，我总是对这么简单这么长感到震惊，并且对我花了多少精力来理解它感到恐惧。有时候我觉得自己来自不同的星球。很高兴能帮助您更快地理解它。一旦看到它，就很容易。

— 威廉·威廉姆斯

2

$D$ $G$

编号的节点 $D$
$G'$ $G''$ $D$
对于每一个边缘，在的边缘添加到如果否则该边缘添加到 $u$ $v$ $D$ $G'$ $u<v$ $G''$
G是和的不交集并 $G'$ $G''$

在进行脱节联合时，必须注意使其可逆。

— 阿德里安
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这是一个很好的尝试，它与我想出的答案是一致的，但是由于反向不是唯一的，所以它不起作用。例如，图O-> OOO将被转换为图OO-OO-OOOO，但是后者也可能来自有向图O-> O O-> OOO，因此该过程不可逆。

— Heterotic

我添加了一张图片使其更加清晰。

— adrianN 2014年

-1

身份函数呢？即，每个有向图可以看作是具有相等大小的分区的无向二分图，反之亦然。

— 绒毛
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我假设你的意思是用图对图进行编码。这是行不通的，因为它不能应付双向边缘，并且如果是反转所有边缘的结果，则和具有同构编码，但本身不一定是同构的。

G = (V, E)

$G=(V,E)$

(V \times {0, 1}, {(⟨ u, 0 ⟩, ⟨ v, 1 ⟩) ∣ (u, v) \in E})

$(V\times\{0,1\}, \{(\langle u,0\rangle, \langle v,1\rangle)\mid (u,v)\in E\})$

G^{'}

$G'$

G

$G$

G

$G$

G^{'}

$G'$

— David Richerby 2014年

-1

这是一个刺路：

将方向信息替换为无向图中的其他顶点。换句话说，使用无向图中的附加顶点可以“编码”方向信息。例如，对于具有至少一条边的每个有向顶点，添加等于1 +“传入”边的数目的无向顶点的数目。边缘为零的顶点保持不变。

要执行相反方向，请为每个具有0个或多于1个边的顶点创建一个有向顶点。（只有一个边缘的顶点是“方向编码”顶点）。连接另一个多边顶点的每个边都是有向图中的连接。现在是棘手的部分，我无法解释一种算法（但我认为存在）：您必须仅给出每个顶点的传入箭头数，才能推断出箭头的方向。

我认为棘手的部分有点像打扫雷：-)找出炸弹（传入边缘）的位置，并为每个方块（顶点）指定相邻炸弹的数量。

— 亚伦
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什么是“有向顶点”？无论如何，这不是唯一可解码的。假设顶点附有一串度数为1的顶点，以及一堆其他度数的顶点。您如何判断它们中有多少代表从度1的顶点进入的边，以及有多少正在对入度进行编码？无论如何，解决Minesweeper都是NP难题，解决方案并不总是唯一的，而且当不一定将正方形排列在一个不错的网格中时，解决方案也不是完全可以解决的。

x

$x$

x

$x$

— David Richerby 2014年

“有向顶点”是指有向图中的顶点（与等效的无向图相反）。您可以将“真实”边缘与“度数编码”边缘区分开，因为只有“度数编码”顶点具有单个边缘。这就是我描述中使用“ 1 +”的原因。我将对您的扫雷风格的“棘手部分”说几句。我不知道它完全等同于扫雷车，但我可以相信我可能只是在路上踢了斗:-)

— 亚伦

另外，当我初读它时，我不太了解您的解决方案，但是现在知道它是如何工作的。聪明！

— 亚伦

令为原始图中没有输入边且只有一个输出边的顶点。在编码图中，出现为一个顶点，正好有一条边从其中出来。您如何区分那种1度顶点和那种在度内编码的1度顶点？

x

$x$

x

$x$

— David Richerby 2014年

我认为现在是“ minesweeper-moot”，但我的想法是采用有向边并将其转换为和。所以将有两个边，而不是1。任何只有1个边的顶点都是度编码。有两个度数编码顶点，表示度数为1。在这个简单的示例中，解码很容易，因为我们知道只有两个顶点，它们的度数分别为0和1，因此

(x, y)

$(x,y)$

(x_{0}, x), (x, y), (y, y_{0})

$(x_0,x), (x,y), (y,y_0)$

(y, y_{1})

$(y,y_1)$

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

— Aaron

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