如何检查两种算法是否对任何输入返回相同的结果？

当所有输入的集合都是无限的时，如何检查两种算法（例如，合并排序和朴素排序）对于任何输入是否返回相同的结果？

更新：感谢Ben解释了在一般情况下如何通过算法无法做到这一点。Dave的答案很好地总结了算法方法和手动方法（受人类智慧和隐喻的影响），这些方法并不总是有效的，但却非常有效。

与反对者所说的相反，有许多有效的方法可以做到这一点。

• 双仿真是一种方法。例如，参见戈登的论文协导和函数编程。

• 另一种方法是使用程序等效的操作理论，例如 Pitts。

• 第三种方法是验证两个程序是否满足相同的功能规范。关于这种方法有成千上万的论文。

• 第四种方法是证明可以使用声音程序转换将一个程序重写为另一个程序。

当然，由于不确定性，这些方法都不是完整的，但是为解决该问题已经进行了大量的工作。

为了略微说明“这是不可能的”陈述，这是一个简单的证明草图。

我们可以用图灵机的输出对算法建模，而图灵机的输出将停止在磁带上。如果您希望通过在磁带上接受输出或拒绝（在这种情况下没有输出）可以停止的机器，则可以轻松地提出一种编码，使您可以使用“不停止或不停止，没有拒绝”的机器。

现在，假设我有一个算法P用于确定两个TM的每个输入是否具有相同的输出。然后，给定一个TM A和一个输入X，我可以构造一个新的TM B，其操作如下：

1. 检查输入是否正好是X
2. 如果是，则进入无限循环
3. 如果否，则在输入上运行A

现在我可以在A和B上运行P了。B不会在X上停止，但是对于所有其他输入都具有与A相同的输出，因此，并且仅当A不在X上停止时，这两种算法的每个输入才具有相同的输出。但是假设P能够判断两种算法的每个输入是否具有相同的输出，因此，如果我们拥有P，我们就可以判断任意输入的任意机器是否停止，这就是停止问题。由于已知停止问题无法确定，因此P不存在。

这意味着没有通用（可计算的）方法来确定两种算法是否始终具有相同的输出，因此您必须对要分析的一对算法应用特定的推理。但是，在实践中，可能存在适用于大量算法的可计算方法，并且当然可以使用某些技术来尝试为任何特定情况制定证明。戴夫·克拉克（Dave Clarke）的答案为您提供了一些相关的知识。“不可能”结果仅适用于设计一种通用方法，该方法将针对所有算法对一劳永逸地解决问题。

通常这是不可能的，但是许多约束可以使之成为可能。例如，您可以使用BDD检查两个直线代码程序的等效性。符号执行可以处理许多其他情况。

不可能设计出一种可以证明这种相等性的算法。提示：减少暂停问题。