确定数据流中缺少的号码

我们从集合接收到成对的不同数字流。{ 1 ，… ，n $n-1$$\left\{1,\dots,n\right\}$

如何通过一次读取流并仅使用位内存的算法来确定丢失的数字？$O(\log_2 n)$

您知道，因为可以用位，这可以在内存和一条路径中完成（只需找到，这是缺少的数字）。小号=Ñ（Ñ+1$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ Ó（日志（Ñ））ø（日志Ñ）š-çÙ- [R[RËÑ吨小号ù$S = \frac{n(n+1)}{2}$$O(\log(n))$$O(\log n)$$S - \mathrm{currentSum}$

但是这个问题可以在一般情况下（对于常数）解决：我们有缺失的数字，找出它们全部。在这种情况下，不是仅计算总和，而是为所有计算的j'st幂的总和（我假设缺少数字，是输入数字）：ķ ÿ 我X 我 1 ≤ Ĵ ≤ ķ X 我ÿ $k$$k$$y_i$$x_i$$1\le j \le k$$x_i$$y_i$

$\qquad \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^k x_i &= S_1,\\ \sum_{i=1}^k x_i^2 &= S_2,\\ &\vdots \\ \sum_{i=1}^k x_i^k &= S_k \end{align}$ $\qquad (1)$

请记住，您可以简单地计算，因为，，...S 1 = S - ∑ y i S 2 = ∑ i 2 - ∑ y 2 $S_1,...S_k$$S_1 = S - \sum y_i$$S_2 = \sum i^2 - \sum y_i^2$

现在要查找缺失的数字，您应该解决来找到所有。x $(1)$$x_i$

您可以计算：

P 2 = Σ X 我 ⋅ X Ĵ P ķ = Π X 我（2 $P_1 = \sum x_i$，，...，。$P_2 = \sum x_i\cdot x_j$$P_k = \prod x_i$ $(2)$

为此，请记住 ，，...P 2 = S 2 1 − S $P_1 = S_1$$P_2 = \frac{S_1^2 - S_2}{2}$

但是是系数，但是可以唯一地分解，因此您可以找到缺失的数字。 P = （x − x 1）⋅ （x − x 2）⋯ （x − x k）$P_i$$P=(x-x_1)\cdot (x-x_2) \cdots (x-x_k)$$P$

这些不是我的想法；阅读这个。

从上面的评论：

处理流之前，分配位，在其中写X ：= ⨁ Ñ 我= 1 b 我Ñ（我）（b 我Ñ（我）是的二进制表示我和⊕是逐点exclusive-要么）。天真的，这需要O（n ）时间。$\lceil \log_2 n \rceil$$x:= \bigoplus_{i=1}^n \mathrm{bin}(i)$$\mathrm{bin}(i)$$i$$\oplus$$\mathcal{O}(n)$

一旦处理流，每当一个读取数，计算X ：= X ⊕ b 我Ñ（Ĵ ）。让ķ是从单数{ 1 ，。。。Ñ }不包含所述信息流中。在阅读整个流之后，我们有 X = （Ñ ⨁我= 1 b 我Ñ（我）） ⊕ （⨁ 我≠ ķ$j$$x := x \oplus \mathrm{bin}(j)$$k$$\{ 1, ... n\}$ 得到所需的结果。

因此，我们使用了空间，并且总体运行时间为O（n ）。$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(n)$

HdM的解决方案有效。我用C ++进行了编码以对其进行测试。我不能将其限制value为位，但是我敢肯定，您可以轻松地显示出实际上只设置了多少位。$O(\log_2 n)$

对于那些想伪代码，使用一个简单的操作与异或（⊕）：$\text{fold}$$\oplus$

手波浪卷发证明：甲从未需要比其输入更多的位，所以它遵循上面没有中间结果在需要超过该输入的最大比特（所以Ô （登录2 Ñ ）位）。⊕是可交换的，并且X ⊕ X = 0，因此如果展开上述和一对关闭所有本你将只剩下一个未匹配的值，缺少的数量流中的数据。$\oplus$$O(\log_2 n)$$\oplus$$x \oplus x = 0$

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;

void find_missing( int const * stream, int len );

int main( int argc, char ** argv )
{
    if( argc < 2 )
    {
        cerr << "Syntax: " << argv[0] << " N" << endl;
        return 1;
    }
    int n = atoi( argv[1] );

    //construct sequence
    vector<int> seq;
    for( int i=1; i <= n; ++i )
        seq.push_back( i );

    //remove a number and remember it
    srand( unsigned(time(0)) );
    int remove = (rand() % n) + 1;
    seq.erase( seq.begin() + (remove - 1) );
    cout << "Removed: " << remove << endl;

    //give the stream a random order
    std::random_shuffle( seq.begin(), seq.end() );

    find_missing( &seq[0], int(seq.size()) );
}

//HdM's solution
void find_missing( int const * stream, int len )
{
    //create initial value of n sequence xor'ed (n == len+1)
    int value = 0;
    for( int i=0; i < (len+1); ++i )
        value = value ^ (i+1);

    //xor all items in stream
    for( int i=0; i < len; ++i, ++stream )
        value = value ^ *stream;

    //what's left is the missing number
    cout << "Found: " << value << endl;
}