具有OR和MOD门的Depth-2电路不是通用的吗？

众所周知，每个布尔函数都可以使用深度为2的布尔电路来实现（在变量，它们的求反和常量值上）在第一层包含“与”门，在上层包含一个“或”门；这仅仅是DNF表示的。 $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ $f$

在电路复杂度方面非常受关注的另一种门是门。通常的定义如下： $MOD_m$

{M O D}_{m} (x_{1}, \dots, x_{k}) = {\begin{cases} 1 & if \sum x_{i} \equiv 0 \mod m \\ 0 & if \sum x_{i} ≢ 0 \mod m \end{cases}

$\mathrm{MOD}_m(x_1,\dots,x_k)=\cases{ 1 & if $\sum x_i \equiv 0 \mod m$ \\ 0 & if $\sum x_i \not\equiv 0 \mod m$ \\ }$

这些大门有时具有令人惊讶的力量。例如，任何布尔函数都可以由仅具有 $\mathrm{MOD}_6$ 门的depth-2电路表示（这是民间传说，但我可以说是有兴趣的人）。

但是，另一种说法是，在顶层具有单个“或”门而在底层具有 $\mathrm{MOD}_m$ 门的电路（其中 $m$ 一劳永逸，特别是对于所有门都是相同的）通用的，即对于任何值 $m$ ，都有 $\mathrm{OR} \circ \mathrm{MOD}_m$ 电路无法计算的布尔函数。

我正在寻找这种说法的证据，或者至少是一些方向的证据。

complexity-theory logic circuits

— 加迪A
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在第一段中，您不需要“非门”，或者必须说“每个单调布尔函数”。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2012年

你是对的; 通常的假设是您将变量，变量的取反以及任意值（对于modgate来说很重要）作为输入。我会明确地写这个。

— 加迪A 2012年

我猜想，输入变量的数量，不同于，模数？

n

$n$

n

$n$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen 2012年

是的，对此感到抱歉。

— 加迪A

我对此很感兴趣。您知道第一个民俗事实的参考吗？我想知道，如果在后一类电路中仅允许一个“或”，那么在前一类电路中允许多少个？

— Juan Bermejo Vega 2012年

无法计算布尔AND函数。实际上假设AND函数是由电路计算的。然后得出结论，一个MOD子电路之一必须已经计算出AND功能，这是不可能的。 $\text{OR} \circ \text{MOD}$

— 克里斯托弗·阿恩斯费尔特·汉森
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不，他是正确的。这里的隐含假设是n是常数，我们应该能够使用mod_n门处理任意数量的输入。

— 加迪A 2012年

@GadiA啊，好的。这在您的问题中尚不清楚，至少对于不熟悉该领域的人而言。我进行了较小的修改，以澄清这一点。

— 吉尔（Gilles）'所以

是的，我的问题措辞很不好，对不起。

— 加迪A

@吉尔斯您能解释一下我们在这里考虑的粉丝吗？我的问题是我看不到MOD的子电路为什么不能计算AND？这个MOD和AND有多少输入？