纯lambda演算中的奎因

我想举一个纯λ演算中的奎因的例子。我无法通过谷歌搜索找到一个，我感到非常惊讶。quine页面列出了许多“真实”语言的quines，但没有列出lambda演算。

当然，这意味着要在lambda演算中定义我的意思，这是我下面要做的。（我要的是非常具体的内容。）

在一些地方，例如Larkin和Stocks（2004），我看到以下内容被引用为“自我复制”表达式：。经过一个单独的beta降低步骤，它本身就减少了，从而给人一种类似于藜的感觉。但是，它像unquine一样，不会终止：进一步的β减少将继续产生相同的表达，因此它永远不会减少为正常形式。对我来说，quine是一个终止并输出自身的程序，所以我想要具有该属性的lambda表达式。 $(\lambda x.x \; x)\;(\lambda x.x \; x)$

当然，任何不包含redexe的表达式都已经是正常形式，因此将终止并输出自身。但这太琐碎了。因此，我提出以下定义，希望它可以接受非平凡的解决方案：

定义（暂定）：lambda演算中的喹是形式 x。A）的表达式（其中表示某些特定的lambda演算表达式），使得变为或对变量更改后的等效值，当对任何输入简化为标准形式时。

(λ x . A)

$(\lambda x . A)$

A

$A$

((λ x . A) y)

$((\lambda x . A)\,\, y)$

(λ x . A)

$(\lambda x . A)$

y

$y$

鉴于lambda演算与其他任何语言都具有图灵等效性，看来这应该是可行的，但是我的lambda演算是生锈的，因此我想不出一个例子。

参考

詹姆斯·拉金（James Larkin）和菲尔·斯托克斯（Phil Stocks）。（2004）“在Lambda微积分中的自我复制表达式”，信息技术研究与实践会议，26（1），167-173。 http://epublications.bond.edu.au/infotech_pubs/158

lambda-calculus

— 纳撒尼尔
source

并不是我的问题的答案，但是对于我自己（以及以后的访问者）来说，拥有一个链接到wiki.haskell.org/Combinatory_logic很有用，在该链接中，有人对藜的想法比我要深得多。

— 纳撒尼尔（Nathaniel）

注意，quine需要产生自己的源代码。产生它所代表的功能是不够的。

— PyRulez

@PyRulez lambda表达式的源代码是什么？如果是字符序列，则lambda表达式不可能输出它，因此，我们可以定义单词“ quine”来表示lambda表达式略有不同的东西，而不必担心歧义。另一方面，如果您认为源代码本身就是lambda表达式，那么“源代码”和“它表示的功能”是同一回事。所以我觉得我还可以。

— 纳撒尼尔（Nathaniel）'18

有一个教会编码的字符串。Lambda演算奎纳应该输出代表它的字符串的教堂编码。

— PyRulez

当然，如果您这样定义的话，这并不难。这个问题是关于另一回事。

— 纳撒尼尔（Nathaniel）'18

Answers:

您想要一个术语例如： $Q$ $\forall M \in \Lambda$

Q M ⊳_{β} Q

$QM \rhd_\beta Q$

我将不再对任何进一步的限制（例如，关于其形式以及是否正则化），并且我将向您展示它肯定必须是非正则化的。 $Q$

假设是在正常的形式。选择（我们可以这样做，因为该定理需要对所有）。然后有三种情况。 $Q$ $M \equiv x$ $M$
- $Q$ 是原子。然后。这不能归结为。 $a$ $QM \equiv ax$ $a$
- $Q$ 是某些应用。然后。是假设的正常形式，因此也是正常形式，并且不能归结为。 $(RS)$ $QM \equiv (RS)x$ $(RS)$ $(RS)x$ $(RS)$
- $Q$ 是某种抽象（如果应该在是自由，那么为简单起见，我们可以选择等效于抽象的变量）。然后。由于为标准形式，因此也是如此。因此，我们无法将减少为。 $(\lambda x.A)$ $x$ $A$ $M$ $\lambda$ $QM \equiv (\lambda x.A)x \rhd_\beta A[x/x] \equiv A$ $(\lambda x.A)$ $A$ $A$ $(\lambda x.A)$
所以，如果这样的存在，它不能以正常形式。 $Q$
为了完整起见，假设具有正常的形态，而不是在正常形式（或许是弱正火），即与使得： $Q$ $\exists N \in \beta\text{-nf}$ $N \not\equiv Q$ $\forall M \in \Lambda$
$Q M ⊳_{β} Q ⊳_{β} N$

然后，对于，还必须存在一个归约序列，因为： $M \equiv x$ $Qx \rhd_\beta Nx \rhd_\beta N$
- $Qx \rhd_\beta Nx$ 是可能的事实，。 $Q \rhd_\beta N$
- $Nx$ 必须归一化，因为是 -nf并且只是一个原子。 $N$ $\beta$ $x$
- 如果要归一化为以外的任何其他值，则具有两个 -nfs，这是Church-Rosser定理的必然结果。（正如您可能已经知道的那样，Church-Rosser定理从本质上说，归约是合计的。 $Nx$ $N$ $Qx$ $\beta$
但是请注意，不可能通过上面的论点（1）来实现，因此我们假设具有正常形式是不成立的。 $Nx \rhd_\beta N$ $Q$
如果我们允许这样的，那么我们可以肯定它必须是非标准化的。在这种情况下，我们可以简单地使用一个组合器来消除它收到的任何参数。Denis的建议效果很好：然后只有两个归约： $Q$
$Q \equiv (λ z . (λ x . λ z . (x x)) (λ x . λ z . (x x)))$ $Q \equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)))$ $\beta$ $\begin{aligned} Q M & \equiv (λ z . (λ x . λ z . (x x)) (λ x . λ z . (x x))) M \\ ⊳_{1 β} (λ x . λ z . (x x)) (λ x . λ z . (x x)) \\ ⊳_{1 β} (λ z . ((λ x . λ z . (x x)) (λ x . λ z . (x x))) \\ \equiv Q \end{aligned}$ $\begin{align} QM &\equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x))) M \\ & \rhd_{1\beta} (λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)) \\ & \rhd_{1\beta} (λz.((λx.λz.(x x))(λx.λz.(x x))) \\ & \equiv Q \end{align}$

这个结果是不是很奇怪，因为你的本质要求，消除了任何参数收到的术语，这是我经常看到提到的不动点定理的直接应用。

— 罗伊（Roy O）
source

如果我也可以接受Denis的答案，那么我会，但是（在我学到了更多东西并能够完全理解它之后），正是这个答案使我确信，这个“ quine组合器”不能由一个实现。正常形式的lambda表达。

— 纳撒尼尔（Nathaniel）

一方面，这是不可能的，因为一个木箱应该输出自己的代码，并且纯lambda演算无法执行输出。

另一方面，如果您假设结果项是输出，那么每个范式都是一个quine。

例如，lambda项已经是正常形式，然后假设其输出是结果正常形式，则输出为。因此 x。x是一个quine。 $(\lambda x. x)$ $(\lambda x. x)$ $(\lambda x. x)$

— 戴夫·克拉克
source

这是一个有趣的观点。在这个问题中，我试图给出一个定义，在lambda演算中什么可以算作非平凡的奎因：一个函数，当将其应用于任何输入时，其自身会减少beta（最多可进行变量名替换）。可能这是不可能的，但至少在我看来并不明显。

— 纳撒尼尔（Nathaniel）2014年

这是一个命题：

我们选择作为函数的固定点。 $A$ $f=\lambda t. (\lambda z.t)$

这可以通过使用定点组合器并设置。 $Y=\lambda g.((\lambda x.g\ (x\ x))\ (\lambda x.g\ (x\ x)))$ $A=Y f=(\lambda x.\lambda z.(x\ x))\ (\lambda x.\lambda z.(x\ x))$

现在我们证明是一个喹。实际上降低为，因此它意味着对于任何，。 $A$ $A$ $\lambda z.A$ $y$ $(\lambda z.A)y \to_\beta A \to_\beta (\lambda z.A)$

— 丹尼斯
source

这很简洁，可以按我的要求回答问题，所以我为不接受而感到难过---但不幸的是，我在指定所需内容时犯了一个小错误。我实际上希望还原为正常形式时，而不是仅在beta还原步骤之后成为。（有关原因，请参阅更新的问题。）这意味着不能包含任何redex，因为如果包含，则还原将不会终止。

(λ z . A) y

$(\lambda z.A)\;y$

(λ z . A)

$(\lambda z.A)$

A

$A$

— 纳撒尼尔（Nathaniel）2014年

在这种情况下，我非常确定这是不可能的，因为以下直觉（不是证明，而是几乎）：您希望不起作用，因为它必须对每个起作用，因此在不应该自由。然后只是减少了。现在，您希望减少为。最后一个表达式不能为正则形式，因为内部的可以再次减小……

y

$y$

y

$y$

y

$y$

A

$A$

(λ z . A) y

$(\lambda z.A)y$

A

$A$

A

$A$

λ z . A

$\lambda z.A$

A

$A$

— Denis 2014年

这种行为不是很令人惊讶，因为的“打印” 又是指令，所以打印自己的代码的木马总是可执行的。您要问的内容类似于要求一个quine，以便执行输出时不输出任何内容（根据定义，这是不可能的）。

λ - c a l c u l u s

$\lambda-calculus$

— 丹尼斯2014年

啊，你当然是对的。我应该已经看到了。我不确定是否接受您的答案或编辑问题以寻求更好的定义。我会考虑一下。（在我看来，您仍然可以在要求终止的地方给出一个简单的定义，但我不确定如何定义。）

— Nathaniel 2014年

尽管已经说过了，但（我假设您是说）必须在不自由是真的吗？例如可能类似于。（伪代码，因为我不确定是否甚至可以为lambda演算中的任意表达式定义相等运算符，但我想您明白我的意思。）

z

$z$

z

$z$

A

$A$

A

$A$ if z==p then return q, otherwise return q

— Nathaniel 2014年