为什么用米勒-拉宾代替费马素数检验？

从Miller-Rabin证明中，如果一个数字通过了Fermat素数检验，则它还必须通过具有相同底数（证明中的变量）的Miller-Rabin检验。而且计算复杂度是相同的。 $a$

尽管Carmichael数比素数少得多，但其中1足够多，因此上述形式中经常不使用Fermat的素数检验。取而代之的是，更常使用Fermat测试的其他更强大的扩展，例如Baillie-PSW，Miller-Rabin和Solovay-Strassen。

米勒-拉宾（Miller-Rabin）有什么好处，为什么据说它比费马素数检验更强大？

algorithms primes

— 紫荆屋
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Answers:

在给定数字，Rabin-Miller算法还测试是否具有Unity的非平凡根。 $n$ $Z_n$

卡米歇尔数通过费马测试（每基础），但对于每卡迈克尔数，存在许多数字，使得测试团结根上失败（即，该序列最终显示出一个非平凡的统一根。 $a$ $n$ $a$ $a$ $a,2a,...,2^ra$

因此，我们有以下内容：

对于费马测试中，如果合数不卡迈克尔，那么该测试将检测compositeness是至少概率。但是，该测试将使所有Carmichael号码失败。 $n$ $1/2$

对于拉宾-米勒测试，每次复合号码将概率至少可以检测。这意味着正确性概率与输入无关（没有“硬”输入）。这就是使该算法更强大的原因。 $1/2$

— 鲨鱼
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您是说卡迈克尔（Michaeln）能够在费马（Fermat）的测试中成功，但在拉宾·米勒（Rabin-Miller）的测试中使用相同的底数会失败a吗？

— ZijingWu 2014年

Carmichael编号的每个

都通过了Fermat的检验，但是对于某些

，则将不通过Rabin-Miller检验（特别是Unity检验的根）。

a

$a$

a

$a$

— Shaull 2014年

但是卡迈克尔将不能通过费马测试每

，对不对？例如，第一卡迈克尔数561 = 3 * 11 * 17将不会通过费马测试

= 3或11或17

a

$a$

a

$a$

— ZijingWu

当我们说“通过”时，是指它们不会被检测为合成数。因此，Carmichael数字将通过每

的测试。我认为我们是同一回事。在本例中，561将通过每个数字

费马检验。

a

$a$

a

$a$

— Shaull

“更复杂”的测试的要点在于，所说谎的碱基分数（例如，数字可能是质数，如果不是），则保证的限度小于1。即，在米勒-拉宾中可以证明最多1/4谎言（IIRC，界限很悲观）。

— vonbrand 2014年

我相信您的陈述与所发生的相反。通过给定基数的Miller-Rabin测试意味着它将通过相同基数的Fermat测试。相比之下，对于给定的基数，有许多复合材料将通过Fermat测试，但对于相同的基数，将无法通过Miller-Rabin测试。

参见，例如Wikipedia Miller-Rabin页面上的Pomerance / Selfridge / Wagstaff的论文：

https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper25.pdf

我们在第2页上看到了一个图，该图显示了Euler伪素数是Fermat伪素数的子集，而强伪素数是它们的子集。因此，Solovay-Strassen检验比Fermat检验更具区分性，而Miller-Rabin检验比任何一个检验都更具辨识性。它们都避免了Carmichael数的严重问题。它们具有基本相同的性能，因此我们更喜欢使用Miller-Rabin测试。

— 达纳
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很明显，米勒-拉宾比费马更好。

$a^{p-1}$

$a^{p-1}$ $p-1 = s·2^k$ $a^s$ $a^{p-1}$

同样，如果结果不为1（模p），则p为合成。但是，如果结果是 1模p，则我们通过对不是+1或-1的中间结果求平方来检查是否得到1，在这种情况下，x也被证明是合成的。

因此，我们所做的工作量完全相同，但是有更多方法证明x是合成的。

— gnasher729
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