图着色问题的NP完全性

替代配方

我想出了以下问题的替代方案。替代公式实际上是问题的一种特殊情况，它使用二部图描述问题。但是，我相信替代性的表达方式仍然对NP不利。替代方法使用不相交的传入和传出节点集，从而简化了问题定义。

给定传出和传入节点（分别为图中的红色和蓝色节点），以及传出和传入顶点之间的边权重大小为的集合。该问题的目的是为图中的粗边着色，以便对每个传入节点都满足条件。 $n$ $n$ $w_{ij}$ $n \times n$

问题的二部图

给定一组输出顶点，一组 $\{ O_i \; | \; i=1 \dots n \}$ 输入顶点，权重之间的和的用于，和一个正的常数，找到的颜色的最小数目对于边缘（上图中的厚边缘），使得对于所有， $\{ I_i\; | \; i=1 \dots n \}$ $n \times n$ $w_{ij} \ge 0$ $O_i$ $I_j$ $i,j=1 \dots n$ $\beta$ $e_{ii}$ $j=1 \dots n$

$\frac{w_{j j}}{1 + \sum_{c (i) = c (j), i \neq j} w_{i j}} \geq β$ $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}} \ge \beta$
其中显示边缘的颜色。 $c(i)$ $e_{ii}$

旧配方

以下问题在我看来很难理解，但我无法显示。任何证明其硬度或易用性的证据/评论均应赞赏。

假设是一个完整的加权有向图具有节点和的边缘。让示出了边的权重和示出边缘的颜色。考虑到边缘的一个子集和一个正的常数的目标是：找到的颜色，使得最小数量为每 $K_n=\langle V,E \rangle$ $n$ $n(n-1)$ $w_{ij} \ge 0$ $ij$ $c(ij)$ $ij$ $T \subseteq E$ $\beta$ ： $e_{ij} \in T$

和
$\frac{w_{i j}}{1 + \sum_{c (k l) = c (i j), k l \neq i j} w_{k j}} \geq β .$ $\frac{w_{ij}}{1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}} \ge \beta.$ $c (i j) \neq c (i k) f o r j \neq k$ $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$

请注意，在上述问题中，仅的边缘需要着色。那就是可以在解决的问题。 $T$ $\mathcal{O}(|T|!)$

更新：

在伊藤刚发表评论后，我更新了问题。分母是从改变到 $1+\sum_{c(kj)=c(ij),k \neq i,e_{kj} \in T} w_{kj}$ $1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}$ 。因此，分母也包含之外的权重。这就是为什么我在定义中提到完整图形的原因。 $T$

我还添加了一个附加约束。这意味着节点的输出边缘必须具有不同的颜色（但是只要不等式成立，输入的颜色可以相同）。这为颜色的数量设置了直观的下限，这是节点的最大出度。 $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$ $T$

正如刚提到的，的，，和被输入到这个问题和边缘颜色的输出。 $w_{ij}$ $T$ $\beta$

更新2：

问题不会使边缘和具有相同的颜色。 $e_{ij}$ $e_{ji}$

— 氦
source

@Raphael：通常，边缘着色问题似乎是减少颜色的好方法。找到最简单的np-hard问题进行还原是最困难的部分。下一步是找到映射的适当权重。我猜想，如果将边缘着色问题简化为上述问题，则权重应为0/1，否则我们需要解决不等式系统才能找到权重。

— 氦气2012年

关于问题的提法，有几点评论：（1）输入什么？我想所有边，T和β的输入都是w_ij，但是如果是这样，则不应定义w_ij和c（ij）就像使用相同的方式给出一样。（2）据我了解，您所写的内容从未提及T的边缘。因此，定义包含T中的边的有向图比考虑完整的有向图更简单。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@TsuyoshiIto：感谢您的评论，我更新了问题。

— 氦气2012年

顺便说一句，这个问题对我来说看起来很混乱。如果您解释了如何解决此问题（换句话说，为什么对这个问题感兴趣），它可能会帮助其他人理解该问题。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

T

$T$

$n$ $n$ $n$ $i$ $w_{ii}=1$ $i \neq j$ $i$ $j$ $w_{ij}=w_{ji}=1$ $w_{ij}=w_{ji}=0$ $\beta=1$

$\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$

$i$ $j$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $i$ $j$ $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}}$ $\frac{1}{1+X}$ $X$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ 给出颜色数量较少的解决方案。

— 氦
source

$c(ij)=c(ji)$ $T$ $0$

$G=(V,E)$ $D=(V,A)$ $\forall uv\in E$ $(u,v)$ $(v,u)$ $A$ $a \in A$ $w_{a} = 1$ $\forall xy \notin E$ $(x,y)$ $(y,x)$ $A$ $w_{xy}=w_{yx}=0$ $\beta$ $1$ $T=A$

$0$

$k$ $NP$

$NP$

— 卢克·马蒂森（Luke Mathieson）
source

您如何执行c（ij）= c（ji）？如果我正确理解的话，在所讨论的问题中不一定是正确的。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

好点子。我将编辑原始帖子以记录该问题。

— 路加·马蒂森