如何测试多边形相对于任意线是否为单调？

定义：多边形的平面被称为相对于直线单调，如果每线正交相交最多两次。 $P$ $L$ $L$ $P$

给定多边形，是否可以确定是否存在任何线，使得多边形相对于是单调的？如果是，怎么办？ $P$ $L$ $P$ $L$

以前，我问了一个相关的问题（在那里，我问如何确定多边形是单调相对于一个特定的行），但现在我感兴趣的情况下，当是不提供或预先规定。 $L$

algorithms computational-geometry

— com
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为什么不仅仅旋转/移动坐标系，使

L

$L$ 成为

x

$x$ 轴，然后再次运行旧算法？附加工作应在

易于处理

O (1)

$\mathcal{O}(1)$ 。

— HdM 2012年

@HdM：没有将L行作为输入的一部分。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2012年

有可能的。

考虑您的多边形并考虑“凹”顶点。它们精确地定义了哪些线将与多边形相交两次以上。在下图中，我标记了禁止角度的间隔（红色）。如果将它们放在一起并在红色光盘上看到一个孔，则存在授权角度（蓝色）。所述多边形是然后相对于斜率的任何线单调（绿色）。 $δ$ $-1/\tan δ$

小行星

现在是算法。

令是多边形的第个顶点。首先计算绝对角度边缘和内角顶点。使用所有好的编程语言中可用的功能。 $v_i=(x_i, y_i)$ $i$ $α_i$ $(v_iv_{i+1})$ $β_i$ $v_i$ atan2

α_{i} = atan2 (y_{i + 1} - y_{i}, x_{i + 1} - x_{i})

$α_i=\mbox{atan2}(y_{i+1}-y_i,x_{i+1}-x_i)$

β_{i} = α_{i + 1个} - α_{一世} + {\begin{cases} 0 & 如果 α_{一世 + 1个} \geq α_{一世} \\ 2 π & 如果 α_{一世 + 1个} < α_{一世} \end{cases}

$β_i = α_{i+1}-α_i+ \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{ if } α_{i+1} ≥ α_i \\ 2π & \mbox{ if } α_{i+1} < α_i \\ \end{array} \right.$

扭转顶点的顺序，如果他们不向逆时针方向顺序，即，如果不为负。（：逆时针，：顺时针方向）。 $s=\sum_i β_i-nπ$ $s=-2π$ $s=2π$

下面只对本内角大于大即，。我照片中的红色。我们的目标是找到一个角度，是不是在模。即，使得对于所有使得： $m$ $π$ $β_j>π$ $δ$ $∪_j[α_{j+1},α_j]$ $π$ $j$ $β_j>π$

(δ < α_{j + 1} \lor α_{j} < δ) if α_{j + 1} < α_{j}

$(δ<α_{j+1} ∨ α_j<δ) \mbox{ if } α_{j+1}<α_j$

(α_{j} < δ < α_{j + 1}) if α_{j} < α_{j + 1}

$(α_j<δ<α_{j+1}) \mbox{ if } α_j<α_{j+1}$

$α_j$ $α_j$ $[0,π)$ $π$ $δ$

$O(n^2)$ $α_j\mbox{ mod }π$ $γ_1,…γ_m$ $δ∈\{\frac{γ_1}2,\frac{γ_1+γ_2}2,…,\frac{γ_{m-1}+γ_m}2,\frac{γ_m+π}2\}$ .

If you have find some $δ$ then $L$ exists and is of slope $-1/\tan δ$ . Otherwise $P$ is not monotonous.

— jmad
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What software did you use to make that illustration?

— jojman

@jojman I don't remember but it had to be GIMP, I can't remember any other program I would have used back then.

— jmad