加权图的最小生成树在给定的权重下具有相同数量的边吗？

如果加权图具有两个不同的最小生成树和，那么这是真的，对于任何边缘在，在边缘的数量用相同的重量（包括本身）与的边数相同，权重与？相同。如果这个说法是正确的，那我们怎么证明呢？ $G$ $T_1 = (V_1, E_1)$ $T_2 = (V_2, E_2)$ $e$ $E_1$ $E_1$ $e$ $e$ $E_2$ $e$

graph-theory spanning-trees weighted-graphs

— 东亚丁
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一种棘手但可行的方法是显示1）Kruskal算法可以生成每个最小生成树，以及2）Kruskal发现的所有最小生成树都具有相同的边缘权重多重集。

— 拉斐尔

Answers:

主张：是的，该说法是正确的。

证明草图：令是两个具有边权多集最小生成树。假设并用表示它们的对称差。 $T_1,T_2$ $W_1,W_2$ $W_1 \neq W_2$ $W = W_1 \mathop{\Delta} W_2$

选择边缘用，即是发生在仅树之一，并且具有最小的重量不同意的边缘。这样的边缘，即特别，总是存在：显然，不重的所有边缘可以在两个树，否则。Wlog让并假设的权重边大于。 $e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ $w(e) = \min W$ $e$ $e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ $\min W$ $\min W \notin W$ $e \in T_1$ $T_1$ $\min W$ $T_2$

现在考虑所有边缘 $T_2$ ，同时也是在切割 $C_{T_1}(e)$ 是通过诱导 $e$ 在 $T_1$ 。如果其中有一个边缘 $e'$ 的权重与 $e$ 相同，则使用代替更新 $T_1$ 。请注意，新树仍然是最小生成树，其边缘权重多重集与。我们迭代该论点，将缩小两个元素，从而在每一步中从的候选集合中删除一条边。因此，我们经过有限的多个步骤才能达到以下设置：中的所有边 $e'$ $e$ $T_1$ $W$ $e$ $T_2 \cap C_{T_1}(e)$ （其中 $T_1$ 是更新版本）的权重不是 $w(e)$ 。

现在，我们随时可以选择 $e' \in C_{T_1}(e) \cap T_2$ 例如，我们可以交换 $e$ 和 $e'$ ¹，这是我们可以创建一个新的生成树

$\qquad \displaystyle T_3 = \begin{cases} (T_1 \setminus \{e\}) \cup \{e'\}, &w(e') \lt w(e) \\[.5em] (T_2 \setminus \{e'\}) \cup \{e\}, &w(e') \gt w(e) \end{cases}$

重量小于 $T_1$ 和 $T_2$ ; 这与选择 $T_1,T_2$ 作为最小生成树相矛盾。因此， $W_1 = W_2$ 。

入射节点在通过路径连接；是的唯一边。 $e$ $T_2$ $P$ $e'$ $P \cap C_{T_1}(e)$

— 拉斐尔
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关于Dave的评论，我在0）认为自己有一个反例之后提出了这个证明，TikZing后我发现它是错误的，1）试图证明该陈述但失败了，2）试图构造一个反例。基于证明失败的地方并再次失败，最后3）使用这些新示例无法提供证明的方式。这也可能就是为什么它没有得到尽可能完善的原因。

— 拉斐尔

赞成票正好，我不明白什么是诱导细胞色素意味着在我只看到切割仿切

e

$e$

T_{1}

$T_1$

(S, V - S)

$(S,V-S)$

— dragoboy

@dragoboy删除将断开连接；一个分量形成，另一分量形成补码。

e

$e$

T_{1}

$T_1$

S

$S$

— 拉斐尔

这是一个稍微简单的参数，也适用于其他拟阵。（我从另一个问题中看到了这个问题。）

假设有边。在不失一般性的前提下，假设权重函数在取值，因此我们将划分为集合，其中。我们可以在数做感应非空的和顶点的数量在 ; 对于和任何，该语句是显而易见的。 $G$ $m$ $w$ $[m]$ $E$ $E_i := w^{-1}(i)$ $i\in [m]$ $j$ $E_i$ $n$ $G$ $j=1$ $n$

关于拟阵一个标准的事实是，对于每个MST存在由诱导的排序的线性延伸使得贪心算法产生。 $T$ $w$ $T$

要关闭归纳，将设为最大值，以使不为空。组。观察到的任何线性扩展看跌期权的每条边的在任何边缘前。根据这一事实，任何MST都由引起的子图的跨越森林和某些边。通过归纳假设，对于，每个连接分量都具有来自每个的相同数量的边。由于所有选择 $t$ $E_t$ $E' = E_1 \cup \cdots \cup E_{t-1}$ $w$ $E'$ $E_t$ $F$ $E'$ $E_t$ $F$ $E_i$ $i < t$ $F$ 具有相同的大小，从边缘的数量需要完成到生成树是独立的选择，我们正在做。 $E_t$ $F$ $F$

— 路易
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您能给拟人提供MST问题吗？我似乎记得这是一件很难的事情，而且我还没有看到（严格地）完成。是的，我们使用贪婪算法，但不使用拟阵理论的（规范）贪婪。

— 拉斐尔

就是说，我认为您的核心论点是可行的（并且根本不需要拟阵）：通过Kruskal算法的正确性以及每个MST 都可以从权重多集的特定（排序）排列的Kruskal运行中获得（严格的证据待定），随后提出索赔。我写“证明待决”是因为它既不琐碎也不是立即的：如果不使用声明本身，就不清楚为什么Kruskal应该找到所有MST。显然，如果一个人具有不同的权重多重集，那么Kruskal将永远找不到！

— 拉斐尔

1.拟阵是图形拟阵。做完了！

— 路易（Louis）

2.你很困惑。抽象地，我们正在对基础多义位进行线性优化。类人动物的标准特征之一是贪婪算法适用于任何权重选择。所有

最小生成树都是该多面体的一面的顶点。现在，LP的标准想法导致了我提到的标准事实。

w

$w$

— 路易（Louis）

1.您能提供参考吗？我不知道该图形拟阵。2.现在您也将LP拖入其中！我要说的是，您的答案没有拟定词，没有拟定词，推理的路线似乎依赖于主张本身。如果您有解决办法，请编辑/阐明答案。

— 拉斐尔