我们可以多快决定给定的DFA是否最小？

最小化确定性有限自动机（DFA）是一个在文献中已经深入研究的问题，并且已经提出了几种算法来解决以下问题：给定DFA，计算对应的最小DFA并接受与。这些算法大多数都在多项式时间内运行。$\mathscr{A}$$\mathscr{A}$

但是，我不知道该问题的决策变量是否为“给定了DFA，最小”？-比实际计算最小自动机更有效地解决。显然，这还可以通过运行例如Hopcroft的分区细化算法，然后确定是否所有分区都精确地包含一个状态来有效地完成。$\mathscr{A}$$\mathscr{A}$

正如Yuval Filmus 在他的回答中所建议的那样，可以通过使用标准算法来更快地解决可判定性变量。不幸的是，我看不到如何做（希望我在这里没有遗漏明显的观点）。

Yuval在此处的注释中指出，对于恒定大小的字母，最著名的算法（如上述算法）在时间中运行。因此，我不仅对运行时的渐进式显着收益感兴趣，因为这些收益似乎不太可能。最让我困扰的是，我无法想象任何“捷径”都可能源于我们只对“是-否”答案感兴趣的事实，甚至没有可以节省渐近时间的时间的捷径。我认为，每种决定DFA最小化的明智算法都必须实际最小化DFA，并查看在此过程中是否有任何变化。$\mathcal{O}(n \log n)$

这可能不是您要找的答案，但是由于您询问了决策问题，因此我认为您可能对问题的复杂性感兴趣。它是完成。$\mathsf{NL}$

现在，DFA最小化意味着什么？有两个属性：

1. 每个州可达：，使得我们可以达到 q从开始状态小号按照 w ^ ; 在符号中： s → w q。$\forall q \in Q \; \exists w \in \Sigma^*$$q$$s$$w$$s \rightarrow_w q$

2. 每对状态是区分：与q ≠ [R ∃ w ^ ∈ ＆Sigma; *，使得q → w ^小号和[R → W ^ ŧ和| { 小号，吨} ∩ ˚F | = 1（仅一个小号，吨是接受状态）。$\forall q,r \in Q$$q \neq r$ $\exists w \in \Sigma^*$$q \rightarrow_w s$$r \rightarrow_w t$$|\{s,t\} \cap F| = 1$$s,t$

请注意，可以在日志空间来计算（即大号 ;只需跟踪您的当前位置，然后按照以下W¯¯一次一个字母）。此外，存在仅之间交替的有限数量的∀和∃以便在的结果Immerman-Szelepcsenyi定理，我们有，这个问题是在Ñ 大号。$x \rightarrow_w y$$\mathsf{L}$$w$$\forall$$\exists$$\mathsf{NL}$

看到很难的最简单方法是注意到属性1解决了s - t定向的不可到达性，这是典型的难题。但是，即使仅考虑可访问的DFA，问题仍然很棘手（即属性2为N L- Hard），并且您可以在Cho＆Huynh（1992）的引理2.2中找到相对简单的证明。$\mathsf{NL}$$s$$t$$\mathsf{NL}$

当然，我使用了不确定性，因此与Hopcroft的算法不同，这有点麻烦。但我们知道，，这样你就可以使用这些结构来让自己比Hopcroft更节省空间的算法（它通过其本身的性质具有跟踪ň多个分区）。$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2$$n$