高阶函数是否为函数式编程提供了更多功能？

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我在cstheory.SE上问过类似的问题。

根据关于Stackoverflow的答案，有一种算法在非惰性纯函数式编程语言上具有复杂度，而在命令式编程中，同一算法是。向FP语言添加惰性可以使算法。 $\Omega(n \log n)$ $\Omega(n)$ $\Omega(n)$

比较带有和不带有高阶函数的FP语言是否存在等效关系？它仍然是图灵完整的吗？如果是这样，那么FP缺少高阶语言是否会使该语言的“功能”或效率降低？

— vz0
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哪种 FP语言？

— reinierpost 2012年

afaik，高阶函数和惰性评估是不一样的。那么您的问题是什么？

— 拉斐尔

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在功能足够强大的函数式编程语言（例如，使用数据类型来实现闭包）中，您可以通过反功能化的转换来消除对高阶的所有使用。由于使用了这种方法来编译这种语言，因此可以合理地假定这不会影响性能，并且在这种情况下，较高的顺序不会使该语言的功能减弱。但是，它确实会影响如何编写代码。

但是，如果语言不够强大，那么是的，高阶确实提供了表达能力。考虑一下lambda演算：没有任何高阶函数，它实际上无能为力，主要是因为最基本的数据类型（整数，布尔值）是使用函数实现的。

总之，这实际上取决于语言。

以上是我的答案。以下是有关命令式语言通常假设的评论。

关于在非惰性函数式编程语言上具有复杂度的算法，而在命令式编程中相同的算法是。向FP语言添加惰性可以使算法。 $\Omega(n \log n)$ $\Omega(n)$ $\Omega(n)$

我希望看到此参考。通常的假设是访问RAM 中长度为的数组的时间为，而纯FP中的等效项的访问时间为。这并非完全正确：RAM中的访问时间为，其中是内存的大小。当然，。实际上，访问数组元素的速度要快得多。原因是是有界的，但是...也是如此！ $n$ $O(1)$ $O(\log n)$ $O(\log m)$ $m$ $m≥n$ $m$ $n$

编辑：谢谢您的链接（有关懒惰的论文的链接不可用，这里是另一个）。正如评论和我的回答中上面所述，通过提供时间查询，RAM模型对于纯FP有点不公平，即使一个地址的大小不受限制。我还不了解这个惰性技巧是如何工作的，但我认为必须注意，这仅适用于此特定问题。 $O(1)$

— 疯狂
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这取决于您的表达能力。

这是一个论点，即高阶确实会增加一些东西：对于一阶语言，原始递归不足以表达Ackermann函数。但是，在存在高阶函数的情况下，原始递归就足够了：

\begin{array}{lcl} Ackermann 0 & = & λ x . x + 1 \\ Ackermann (m + 1) & = & Iter (Ackermann m) \\ Iter f 0 & = & f 1 \\ Iter f (n + 1) & = & f (Iter f n) \end{array}

$\begin{array}{lcl} \textit{Ackermann} \ 0 & = & \lambda x. x+1 \\ \textit{Ackermann} \ ( m+1 ) & = & \textit{Iter}\ ( \textit{Ackermann}\ m ) \\ \textit{Iter}\ f\ 0 & = & f\ 1 \\ \textit{Iter}\ f\ ( n+1 ) & = & f\ ( \textit{Iter}\ f\ n ) \end{array}$

这仅使用原始递归来定义Ackermann函数。

$\textit{Iter}$ $\textit{Iter}$ $\mathbb{N}^k \rightarrow \mathbb{N}$ $k$ $\textit{Iter}$ $(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}) \rightarrow (\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N})$

— 马丁·伯格
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