用浮桥NP-连接岛屿是否完整？

我脑子里有一个问题，我认为这是一个NPC问题，但我不知道如何证明。

这是问题所在：

在一个非常大的湖泊中有k个岛，并且有n 个扇形浮桥。这些浮桥大小相同，但初始方向不同，在湖中的原始位置也不同。浮桥可以绕其质心自由旋转，并且没有旋转的成本。

现在我们需要移动那些浮桥，以便可以连接湖中的所有岛屿。我们可以保证浮桥的数量足以连接所有岛屿。

[注意]：我们不能重复使用浮筒！！

任务是找到具有最小移动浮桥总距离的解决方案，以使所有孤岛相连。移动一个浮桥的距离可以计算为质心的原始位置与其展开位置之间的距离。

为了清楚起见，我画了一个这样的数字。假设我们有3个岛A，B和C。它们位于湖中某处。我有几个扇形的卡通漫画。现在的解决方案是找到连接图A，B和C的最小移动距离总和，如图底部所示。希望它有助于理解问题。:)

看来问题出在NPC上，但我不知道要证明这一点。谁可以帮我这个事？

第一：这不是旅行商问题。TSP要求确定最小权重的哈密顿循环。这个周期不需要一个周期，甚至根本不需要最小的重量路径。它要求以最小的成本来构造一组连接的边缘，其中，建造成本是基于将浮桥四处移动。

第二：这不是最小重量生成树问题。参见上文-我们要求的是成本最低的结构，而不是最小的重量标识。

第三：构建的路径似乎将是一棵生成树，但不一定是最小的权重树。另一种选择是，它将是一棵生成树加上一些额外的边，从而形成一个循环。但是，如果我们从没有边缘的配置开始，那么每个边缘都会有一些正成本，并且我们总是可以通过不构造额外的边缘来找到权重较低的生成树。

第四：您说浮船可以自由旋转；我认为这意味着旋转浮桥没有成本。但是，您没有指定浮桥旋转的方向：它们的点？他们的重心？有什么内部观点吗？（如果有任何外部点，那么我们将具有零权重构造，是吗？）

这有点微妙，因为如果我们围绕一个内部点（例如质心）旋转90度，那么成本是多少？没什么，因为轮换吗？因为点移动了一些有限的量？现在我们还需要知道浮桥的大小。

第五：人们假设浮桥和岛屿都嵌入在欧几里得平面中？

查看新图后，我发现您可能需要多个浮桥才能在各个岛之间穿越。鉴于此，您可以通过将节点变成孤岛并创建足够多的带有小弧形的浮桥来接近Steiner Tree问题的解决方案。维基百科说，事实上，斯坦纳树问题有一个PTAS，所以我不能立即说这使它成为NP完全的。但是，查看Steiner树的详细信息可能会为您提供一个很好的近似解决方案，或者表明问题是NP-Complete。

绘制后，这仍然是NPC问题。即使我们将问题分解到每个浮桥，也可以假设n个位置中的1个（即已知的连接线。要获得最佳答案），我们将不得不在每个位置尝试每个浮桥，并增加它们的距离才能到达每个对折位置时间，并与其他所有时间进行比较，如果每个浮桥必须在每个位置进行测试，则需要测试n！个组合。

我选择编辑原始海报的图像，并添加一些其他内容以显示此问题背后的图形思想。

下图显示了所有（不同的负号2，以便简化）不同颜色的浮筒，所有潜在的浮筒末端位置均为红色。我仅画出了3个浮桥和所有末端位置之间的界线，但人们可以看到这有多疯狂。

假设仅仅是为了解决问题，我们首先选择将绿松石浮桥放置在离它最近的末端位置（尽管从TSP中我们知道最终可能不是最佳选择）。

在下面我们可以确切地看到浮桥及其将要行驶的距离（又称加权行驶距离）。

从这里可以创建一个虚拟节点，其两个末端位置紧邻刚放置的位置。距设置节点的距离以及虚拟节点内的两个相邻节点的虚拟行进距离为0。

在下面，我们看到虚拟节点具有所有可以放置在此处的潜在行进距离权重。

看到这种情况如何持续下去，以及如何通过选择每个选择的最短距离来获得最佳解决方案（如在TSP中多次看到），我们将不得不测试所有节点/虚拟节点的所有路径。

最后，（TSP）问题的第一个节点可能是任何一个潜在的浮桥点，从中得出的线是从该端点到所有其他浮桥的距离。之后，所有其他节点都变成了虚拟节点，正如我所描绘的那样，它们的线条随着到所有剩余浮桥的距离/权重的变化而消失，依此类推。没有哈密尔顿循环的LAST JUMP要求，这个图问题怎么不完全是旅行商问题。为了获得准确的答案，必须测试通过图形的所有路径。