使用Lambda微积分表示负数和复数

关于Lambda微积分的大多数教程都提供了示例，其中正整数和布尔值可以用函数表示。那-1和我呢？

— zcaudate
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Answers:

首先编码自然数和对，如jmad所述。

将整数为一对自然数，使得。然后，您可以将整数的常规运算定义为（对 -calculus 使用Haskell表示法）： $k$ $(a,b)$ $k = a - b$ $\lambda$

neg = \k -> (snd k, fst k)
add = \k m -> (fst k + fst m, snd k + snd m)
sub = \k m -> add k (neg m)
mul = \k m -> (fst k * fst m + snd k * snd m, fst k * snd m + snd k * fst m)

就复数被编码为一对实数的意义而言，复数的情况相似。但是一个更复杂的问题是如何对实数进行编码。在这里，您必须做更多的工作：

将有理数编码为对，其中是整数，是自然数，并且 $q$ $(k,a)$ $k$ $a$ $q = k / (1 + a)$ 。
编码实数由函数使得对于每一个自然，编码有理数使得。换句话说，一个真正的被编码为有理数以速率收敛到它的序列。 $x$ $f$ $k \in \mathbb{N}$ $f k$ $q$ $|x - q| < 2^{-k}$ $k \mapsto 2^{-k}$

对实数进行编码是一项繁重的工作，您不想在微积分中实际进行编码。但是，例如，请参见Marshall的子目录，以了解纯Haskell中实数的简单实现。原则上，这可以转换为纯微积分。 $\lambda$ etc/haskell $\lambda$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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哇=）我在直觉上想知道这是什么意思……例如，使用教堂数字编码……即。整数值n的教会数由将函数应用于值n次的函数表示。对和负lambda值是否具有与它们相似的直观感觉？

— zcaudate 2012年

教会编码编码自然数

，

，...这不编码负数。在上面的答案中，我假设您已经了解自然数的编码，因此我解释了如何获取整数。我所编码的整数是更正式的结构，与教堂数字不同，教堂数字与

微积分的联系更加复杂。我认为“负lambda值”不是一个有意义的短语。

0

$0$

1

$1$

2

$2$

λ

$\lambda$

— Andrej Bauer 2012年

@zcaudate [类型注释：i:ℤ，x:a，f,u,s:a→a，p:(a→a,a→a)]如果编码ℤ作为(Sign,ℕ)然后，给定一对功能(s,f)如p，术语λi.λp.λx.(fst i) (fst p) id ((snd i) (snd p) x)会产生任一f(…f(x)…)或s(f(…f(x)…))（如果结果是负的）。如果将encode编码为(ℕ,ℕ)，则需要一个具有反函数的函数-给定一个对，(f,u)并且x该函数λi.λp.λx.(snd i)(snd p)((fst i)(fst p) x)将产生u(…u(f(…f(x)…))…)，将把f应用i时间赋予x。两者都在不同的上下文中工作（结果可以被“翻转” || f是可逆的）。

— 没人

@zcaudate额外的功能是必需的，因为教会编码的数字“自己递归”，但是配对将只为您提供组件。辅助函数仅按“正确”顺序将组件粘合在一起（nat自动发生）。另请参见：en.wikipedia.org/wiki/…–教堂编码基本上fold . ctor适用于任何构造函数，且该类型的fold（r）。（这就是为什么对于递归类型，数据将“自行递归”的原因。对于非递归类型，它更像是case/模式匹配。）

— 没人

Lambda演算可以编码大多数数据结构和基本类型。例如，您可以使用通常用于编码非负整数和布尔值的相同的Church编码，在lambda演算中对一对现有项进行编码：

对 = λ X ÿ ž 。 ž X ÿ

$\mbox{pair}= λxyz.zxy$

fst = λ p 。 p （ λ X ÿ 。 X ）

$\mbox{fst} = λp.p(λxy.x)$

snd = λ p 。 p （ λ X ÿ 。 ÿ ）

$\mbox{snd} = λp.p(λxy.y)$

那么是，如果你想取回和你可以做和。 $(a,b)$ $p=(\mbox{pair }ab)$ $a$ $b$ $(\mbox{fst }p)$ $(\mbox{snd }p)$

这意味着您可以轻松地用一对来代表正整数和负整数：左侧的符号和右侧的绝对值。该符号是一个布尔值，指定数字是否为正。右边是使用Church编码的自然数。

（ s 一世 G ñ ， ñ ）

$(sign,n)$

现在您有了相对整数。乘法很容易定义，您只需要在符号上应用函数 $\mbox{xor}$ ，并在绝对值上对自然数应用乘法：

{mult}_{ℤ} = λ a b . pair (xor (fst a) (fst b)) ({mult}_{ℕ} (snd a) (snd b))

$\mbox{mult}_ℤ=λab.\mbox{pair} ~~(\mbox{xor}(\mbox{fst }a)(\mbox{fst }b)) ~~(\mbox{mult}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b))$

要定义加法，您必须比较两个自然数并在符号不同时使用减法，因此这不是λ项，但是如果您确实想满足以下条件，可以对其进行调整：

加_{ℤ} = λ 一种 b 。 {\begin{cases} （ 真正 ， 加_{ℕ} （ snd 一种 ） （ snd b ） ） & 如果 一种 \geq 0 \land b \geq 0 \\ （ 假 ， 加_{ℕ} （ snd 一种 ） （ snd b ） ） & 如果 一种 < 0 \land b < 0 \\ （ 真正 ， 子_{ℕ} （ snd 一种 ） （ snd b ） ） & 如果 一种 \geq 0 \land b < 0 \land | 一种 | \geq | b | \\ （ 假 ， 子_{ℕ} （ snd b ） （ snd 一种 ） ） & 如果 一种 \geq 0 \land b < 0 \land | 一种 | < | b | \\ （ 真正 ， 子_{ℕ} （ snd b ） （ snd 一种 ） ） & 如果 一种 < 0 \land b \geq 0 \land | 一种 | < | b | \\ （ 假 ， 子_{ℕ} （ snd 一种 ） （ snd b ） ） & 如果 一种 < 0 \land b \geq 0 \land | 一种 | \geq | b | \end{cases}

$\mbox{add}_ℤ=λab.\left\{\begin{array}{ll} (\mbox{true},\mbox{add}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a≥0∧b≥0 \\ (\mbox{false},\mbox{add}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a<0∧b<0 \\ (\mbox{true},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a≥0∧b<0∧|a|≥|b| \\ (\mbox{false},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }b)(\mbox{snd }a)) & \mbox{if } a≥0∧b<0∧|a|<|b| \\ (\mbox{true},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }b)(\mbox{snd }a)) & \mbox{if } a<0∧b≥0∧|a|<|b| \\ (\mbox{false},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a<0∧b≥0∧|a|≥|b| \\ \end{array}\right.$

但是减法真的很容易定义：

{减去}_{ℤ} = λ 一种 。 对 （ 不 （ fst 一种 ） ） （ snd 一种 ）

$\mbox{minus}_ℤ=λa.\mbox{pair}(\mbox{not}(\mbox{fst } a))(\mbox{snd } a)$

子_{ℤ} = λ 一种 b 。 加_{ℤ} （ 一种 ） （ {减去}_{ℤ} b ）

$\mbox{sub}_ℤ=λab.\mbox{add}_ℤ(a)(\mbox{minus}_ℤb)$

一旦有了正整数和负整数，就可以非常容易地定义复数整数：它只是一对两个整数，代表。然后加法是逐点的，乘法是照常进行的，但是我不会写，应该很容易： $(a,b)$ $a+b\mbox{i}$

{add}_{ℤ [i]} = λ z_{1} z_{2} . pair ({add}_{ℤ} (fst z_{1}) (fst z_{2})) ({add}_{ℤ} (snd z_{1}) (snd z_{2}))

$\mbox{add}_{ℤ[\mbox{i}]}=λz_1z_2.\mbox{pair} (\mbox{add}_ℤ(\mbox{fst }z_1)(\mbox{fst }z_2)) (\mbox{add}_ℤ(\mbox{snd }z_1)(\mbox{snd }z_2))$

— 疯狂
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如果将整数

表示为一对自然数

，使得

则可以避免区分大小写。

k

$k$

(a, b)

$(a,b)$

k = a - b

$k = a - b$

— Andrej Bauer 2012年

可以使用复数整数，但是他要的是复数。再说一遍，由于它们是不可数的，它们当然不能代表。

— HDM

@AndrejBauer：非常不错的技巧（也许不是那么简单）HdM：即使不是全部，也可以做到。但是我认为使用Church编码在λ微积分中构建东西的方法在这里更为重要/适当。

— jmad 2012年

我希望我能给出两个正确的答案=）当我问复数时，我什至没有想到实数可以表示，但是你走了！

— zcaudate 2012年