使用BFS / DFS查找树的直径的算法。为什么行得通？

该链接提供了一种使用BFS / DFS查找无向树的直径的算法。总结：

在图中的任何节点上运行BFS，记住您最后发现的节点。记住最后发现的节点v，从u运行BFS。d（u，v）是树的直径。

为什么行得通？

第2页，这提供了一个理由，但它是混淆。我引用了证明的初始部分：

在图中的任何节点上运行BFS，记住您最后发现的节点。记住最后发现的节点v，从u运行BFS。d（u，v）是树的直径。

正确性：令a和b为任意两个节点，使得d（a，b）是树的直径。从a到b有一条独特的路径。令t为BFS在该路径上发现的第一个节点。如果从s到u 的路径$p_1$和从a到b的$p_2$路径不共享边，则从t到u的路径包括s。所以

$d(t,u) \ge d(s,u)$

$d(t,u) \ge d(s,a)$

....（更多不平等现象随之而来。）

不平等对我来说没有意义。

证明要求的所有部分都取决于具有无向边的树木的2个关键特性：

• 1个连通性（即，树中任意两个节点之间只有一条路径）
• 任何节点都可以充当树的根。

选择一个任意树节点。假设ü ，v ∈ V （G ^ ）与节点d （Û ，v ）= ð 我一米（ģ ）。进一步，该算法找到节点假设X在开始小号第一，一些节点ÿ起始于X下。wlog d （小号，Û ）≥ d （小号，v ）。注意$s$$u, v \in V(G)$$d(u,v) = diam(G)$$x$$s$$y$$x$$d(s,u) \geq d(s,v)$必须持有，除非该算法的第一阶段将不会在最终 X。我们将看到 d （x ，y ）= d （u ，v ）。$d(s,x) \geq d(s,y)$$x$$d(x,y) = d(u,v)$

在以下伪图形中可以看到所有涉及的节点的最一般的配置（可能是或s = z x y或两者都有）：$s = z_{uv}$$s = z_{xy}$

(u)                                            (x)
  \                                            /
   \                                          /
    \                                        /
     ( z_uv )---------( s )----------( z_xy )
    /                                        \
   /                                          \
  /                                            \
(v)                                            (y)

我们知道：

1. 。否则， d （u ，v ）< d i a m （G ）与假设相反。$d(z_{uv},y) \leq d(z_{uv},v)$$d(u,v) < diam(G)$
2. 。否则， d （u ，v ）< d i a m （G ）与假设相反。$d(z_{uv},x) \leq d(z_{uv},u)$$d(u,v) < diam(G)$
3. ，否则该算法的阶段1中将不会停在 X。$d(s,z_{xy}) + d(z_{xy},x) \geq d(s,z_{uv}) + d(z_{uv},u)$$x$
4. ，否则该算法的阶段2不会在停止 ÿ。$d(z_{xy},y) \geq d(v,z_{uv}) + d(z_{uv},z_{xy})$$y$

1）和2）暗示 。$\, \\ d(u,v) = d(z_{uv},v) + d(z_{uv},u) \\ \qquad\geq d(z_{uv},x) + d(z_{uv},y) = d(x,y) + 2\, d(z_{uv}, z_{xy}) \\ \qquad\qquad\geq d(x,y)$

3）和4）暗示 $\, \\ d(z_{xy},y) + d(s,z_{xy}) + d(z_{xy},x) \\ \qquad\geq d(s,z_{uv}) + d(z_{uv},u) + d(v,z_{uv}) + d(z_{uv},z_{xy}) \qquad\qquad\qquad\qquad \\ \,$ 相当于 。$\, \\ d(x,y) = d(z_{xy},y) + d(z_{xy},x) \\ \qquad\geq 2*\,d(s,z_{uv}) + d(v,z_{uv}) + d(u,z_{uv}) \\ \qquad\qquad\geq d(u,v)$

因此。$d(u,v) = d(x,y)$

模拟证明适用于其他配置

                 (u)                          (x)
                   \                          /
                    \                        /
                     \                      /
     ( s )---------( z_uv )----------( z_xy )
                     /                      \
                    /                        \
                   /                          \
                 (v)                          (y)

和

                          (x)        (u)  
                          /            \  
                         /              \ 
                        /                \
     ( s )---------( z_xy )----------( z_uv )
                        \                /          
                         \              /           
                          \            /            
                          (y)        (v)            

这些都是可能的配置。特别是，由于算法和的阶段1的结果ÿ ∉ p 一个吨ħ （X ，Û ），ÿ ∉ p 一个吨ħ （X ，v ）由于第2阶段。$x \not\in path(s,u), x \not\in path(s,v)$$y \not\in path(x,u), y \not\in path(x,v)$

背后的直觉很容易理解。假设我必须找到给定树中任何两个节点之间存在的最长路径。

在绘制了一些图之后，我们可以观察到最长的路径将始终出现在两个叶节点（只有一个边链接的节点）之间。这也可以通过矛盾证明，如果最长的路径在两个节点之间，并且两个节点中的一个或两个都不是叶节点，那么我们可以扩展路径以获得更长的路径。

因此，一种方法是首先检查哪些节点是叶节点，然后从其中一个叶节点启动BFS，以使其距离节点最远。

与其先发现哪些节点是叶节点，不如从一个随机节点开始BFS，然后查看哪个节点距离它最远。让最远的节点为x。显然，x是叶节点。现在，如果我们从x开始BFS并检查距离它最远的节点，我们将得到答案。

但是，如何保证x将成为最大路径的终点？

让我们看一个例子：

       1   
    / /\ \
   6 2  4 8
         \ \
          5 9
           \
            7

假设我从6开始创建BFS。距离6最大距离的节点是节点7。使用BFS，我们可以获得该节点。现在，我们从节点7开始对BFS进行标记，以在最大距离处获得节点9。从节点7到节点9的路径显然是最长的路径。

如果从节点6开始的BFS给2作为最大距离节点，该怎么办。然后，当我们从2开始BFS时，我们将在最大距离处得到7作为节点，并且最长路径将是长度为4的2-> 1-> 4-> 5-> 7，但是实际的最长路径长度是5。这不能发生这种情况是因为来自节点6的BFS永远不会将节点2作为最大距离的节点。

希望能有所帮助。

这是一个更紧密地遵循原始问题中所链接的MIT解决方案集的证明。为了清楚起见，我将使用与它们相同的符号，以便可以更轻松地进行比较。

$a$$b$$a$$b$$p(a, b)$$d(a, b)$$s \neq a, b$$s = a$$b$$u$$d(s, u) = \max_x d(s, x)$

引理0：和均为叶节点。$a$$b$

证明：如果它们不是叶节点，则可以通过将端点扩展到叶节点来增加，这与是直径相反。$d(a,b)$$d(a, b)$

引理1：。$\max [d(s,a), d(s, b)] = d(s, u)$

证明：为了矛盾起见，假设和都严格小于。我们来看两种情况：$d(s, a)$$d(s,b)$$d(s, u)$

情况1：路径不不包含顶点。在这种情况下，不能为直径。要知道为什么，让为与距离最小的唯一顶点。然后，我们看到，因为。类似地，我们还将具有。这与是直径矛盾。$p(a, b)$$s$$d(a, b)$$t$$p(a, b)$$s$$d(a, u) = d(a, t) + d(t, s) + d(s, u) > d(a, b) = d(a, t) + d(t, b)$$d(s, u) > d(s, b) = d(s, t) + d(t, b) > d(t, b)$$d(b, u) > d(a, b)$$d(a, b)$

情况2：路径包含顶点。在这种情况下，再次不能是直径，因为对于某些顶点，使得，和大于。$p(a, b)$$s$$d(a, b)$ $u$$d(s, u) = \max_x d(s, x)$$d(a, u)$$d(b, u)$$d(a, b)$

引理1给出了为什么我们从第一个BFS 的最后发现的顶点开始第二个广度优先搜索的原因。如果是与的最大距离的唯一顶点，那么根据引理1，它必须是某个路径的端点之一，且距离等于直径，因此，以为根的第二BFS 无疑会找到直径。另一方面，如果至少还有一个顶点使得，那么我们知道直径为，无论我们是从还是开始第二个BFS都没有关系。û š ù v d （小号，v ）= d （小号，Û ）d （一，b ）= 2 d （小号，Û ）ü $u$$u$$s$$u$$v$$d(s, v) = d(s, u)$$d(a, b) = 2d(s, u)$$u$$v$

首先从随机节点运行DFS，然后树的直径是其DFS子树中节点最深叶子之间的路径：

根据BFS的定义，探索的每个节点的距离（与起始节点的距离）等于先前探索的节点的距离，或者等于或大于1。因此，BFS探索的最后一个节点将位于距离起点最远的节点之中。节点。

因此，使用BFS两次达的算法“选取的任意节点。找到节点从最远（最后一个节点发现通过BFS从开始）。找到节点从最远（发现通过BFS从开始最后一个节点）。”，从而找到彼此之间最大距离的两个节点。$x$$a$$x$$x$$b$$a$$a$

要知道的一件事是，一棵树总是平面的，这意味着它可以放在平面上，因此通常二维思维是可行的。在这种情况下，算法会说从任何地方开始，并尽可能远。从该点到您可以远离该点的距离是树中最长的距离，因此是直径。

如果我们将其定义为完全包围该岛的最小​​圆的直径，则该方法也可以找到真实的物理岛的直径。

@op，在PDF中定义案例的方式可能有点偏离。

我认为这两种情况应该是：

1. $p_1$不与相交，即，路径和之间没有公共顶点。在这种情况下，将定义为第一个BFS在处发现的上的第一个节点。$p_2$$p_1$$p_2$$t$$p_2$$s$

2. $p_1$和具有至少一个公共顶点。在这种情况下，将定义为第一个BFS在上发现的上的第一个节点。$p_2$$t$$p_2$$p_1$

PDF中的其余证明都应遵循。

有了这个定义，OP所显示的数字就属于案例2。