查找伪逆矩阵的复杂性

查找任意场的Moore-Penrose伪逆矩阵需要多少算术运算？

如果矩阵是可逆的并且是复数值，那么它就是逆矩阵。找到逆需要时间，其中是矩阵乘法常数。它是算法简介第3版中的定理28.2。 $O(n^\omega)$ $\omega$

如果矩阵具有线性独立的行或列和复值，然后伪逆矩阵，可以与计算或分别其中是共轭转置。特别是，这意味着需要时间来查找的伪逆。 $A$ $A^*(A A^*)^{-1}$ $(A A^*)^{-1}A^*$ $A^*$ $A$ $O(n^\omega)$ $A$

对于通用矩阵，我见过的算法使用QR分解或SVD，在最坏的情况下，似乎需要算术运算。是否有使用较少运算的算法？ $O(n^3)$

algorithms linear-algebra

— 徐超
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我有一个跟进，可能太基础了，但是请您确认一下复杂度方程中的n是多少。它是矩阵的尺寸吗？如果矩阵不是正方形，该怎么办？

— Mike Pomp '18年

在可以在时间中找到逆的说法中，确实是方阵的维；如果矩阵不是正方形，则可以将设为较大尺寸。

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$

n

$n$

n

$n$

— 大卫·里奇比

由于这是一个简单的问题，因此我已经在这里回答了。但是，如果您还有其他疑问，请使用页面顶部的“问问题”按钮以页面的形式单独询问。您可以链接回此页面以提供上下文。该网站每页仅设置一个问题：没有线索，帖子根据它们获得的票数来回移动，因此，一个页面上有多个问题，情况变得非常混乱。我们的短途旅行和帮助中心提供了更多信息。

— David Richerby

首先，人们往往会忘记是很少的。每当我们写，实际上意味着对于所有，都有一种算法在时间。 $\omega$ $O(n^\omega)$ $\gamma > \omega$ $O_\gamma(n^\gamma)$

凯勒-格里克显示（除其他）如何呈现矩阵在秩正常形式在时间。如果具有秩，则秩正常形式是一些可逆的适当尺寸的; 另请参阅第435页的命题16.13代数复杂性理论。 $A$ $O(n^\omega)$ $A$ $r$ $A$

S (\begin{matrix} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) T

$S \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} T$

S, T

$S,T$

秩范式类似于Wikipedia文章中提到的秩分解，，其中具有列，具有行。确实，我们可以将设为的前列，并将设为的前行。考虑到这种分解，维基百科仅使用Hermitian伴随，矩阵乘法和矩阵逆给出了伪逆的公式。因此，可以在时间计算伪逆。 $A = XY$ $X$ $r$ $Y$ $r$ $X$ $r$ $S$ $Y$ $r$ $T$ $O(n^\omega)$

— Yuval Filmus
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谢谢您的回答！我收到了论文，发现我似乎缺乏背景。关于这种结果是否有一些很好的介绍/调查？我知道《代数复杂性理论》是一本不错的书，但目前

— Chao Xu

尽管可能最好看一下这本书，但可能会有相关的讲义。CLRS（算法简介）还包含一些相关的材料，例如矩阵乘法和矩阵逆之间的等价关系。

— Yuval Filmus 2014年

那么通常成立吗？您能给我一个提示“矩阵乘法常数”是什么吗？

O (n^{ω})

$O(n^ω)$

w

$w$

— 2015年

我们不知道的值。由于Le Gall，最佳上限是。据推测。

ω

$\omega$

ω < 2.3728639

$\omega < 2.3728639$

ω = 2

$\omega = 2$

— Yuval Filmus