用最少的移动次数匹配数字的算法

这是一种编辑距离问题，非常简单。我只是在这个问题上脑子死了，到目前为止还不能弄清楚。

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给定一系列数字，例如

[3, 1, 1, 1]

如何以最少的“移动”数将所有数字最有效地转换为相同的数字？“移动”是指从数字中添加或删除一个。

在上面的示例中，最有效的举动是：

[1, 1, 1, 1]

这将需要2步，将第一个数字减少两次。

给定大得多的数百个数字数组，我无法找出找到此结果的最佳方法。

我最初尝试计算四舍五入的平均值（所有值的总和除以长度），然后将其减小为计算的平均值，但是上面的示例破坏了这一点，需要4步而不是2步。

我想我可以算：

1. 平均
2. 模式，
3. 中位数

并获得它们各自的编辑距离，并选择最小距离。但是，我不确定在每个实例中这是否正确。我怎么知道？

答案是取中位数。中位数的特性之一是，它使与每个元素的L1距离最小。（要理解Wikipedia的文章，请将概率分布设为原始数字序列的均匀分布）。

这是解决问题的算法（最初由dc2编写）：

function median(arr) {
  arr.sort(function(a, b) { return a - b; });
  var half = floor(arr.length/2);
  if ( arr.length % 2 ) {
    return arr[half];
  } else {
    return (arr[half-1] + arr[half]) / 2.0;
  }
}

function minl1(arr) {
  var moves = 0;
  var mdn = median(arr);
  for ( var i = 0; i < arr.length; ++i ) {
    moves += Math.abs(mdn - arr[i]);
  }
  return moves;
}

minl1([3, 1, 1, 1]); // -> 2

正如TCSGrad所提到的，给定整数的列表，您正在寻找最小 的整数 计算： 当从变为，量从变为。而且，它仅在点处切换值$x_1,\ldots,x_n$$m$

$$\delta(m) = \sum_{i=1}^n |m - x_i|.$$ $\delta(m+1) - \delta(m)$ $$\delta(m+1) - \delta(m) = \sum_{i=1}^n \begin{cases} +1 & m \geq x_i \\ -1 & m < x_i \end{cases} = \#\{i : m \geq x_i\} - \#\{i : m < x_i\}.$$ $m$$-\infty$$+\infty$$\delta(m+1) - \delta(m)$$-n$$n$$x_1,\ldots,x_n$。不难检查的最优值是否是的最小点。这个最小点是，因此编辑距离是。$m$$\delta(m+1) - \delta(m) \geq 0$$x_i$$\min(\delta(x_1),\ldots,\delta(x_n))$

进一步假设所有是唯一的，而是奇数。令为的中位数。那么而，因此是唯一的最优值。如果为偶数，则类似的计算表明我们可以选择连接中值的区间中的任意点。类似但更详尽的推理表明，即使不明显，任何中位数也是最佳的。因此，实际上无需在所有上计算。$x_i$$n$$m$$x_i$$\delta(m+1) - \delta(m) = 1$$\delta(m) - \delta(m-1) = -1$$m$$n$$x_i$$\delta$$x_i$

该问题可以表述为LP问题：

给定一组数字，求解以下LP：$n$$[a_1,a_2... a_n]$

$$\min \sum |a_i - x|$$

（删除了约束，正如Raphael所指出的那样，这是不必要的）$x$

LP解决后，您将获得与解决方案相对应的值。如果 是整数，则说明您已经完成-否则，将其舍入到最接近的整数。$x$$x$

编辑：如评论中指出，目标函数应为绝对差之和。为了将其转换回标准LP，我们可以将LP重写为：

$$\min \sum a'_i$$

受：

一个' 我 ≤ 一个我 - X ∀ 我一个' 我，X ' ≥ 0 ∀

$$a'_i \geq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i \leq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i, x' \geq 0\ \forall i$$

在最佳解决方案中，，我们可以从解中得到的值。$a_i' = | a_i - x|\ \forall i$$x$